Question

2．在矩形ABCD中，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，AC=2AB，延長(zhǎng)AB至G，使BG=AB，連接GO交BC于E，延長(zhǎng)GO交AD于F．
（1）求證：△ABC≌△AOG；
（2）猜測(cè)四邊形AECF的形狀并證明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）由已知條件得出AB=AO，AC=AG，由SAS證明△ABC≌△AOG即可；
（2）由矩形的性質(zhì)得出∠ABC=90°，AD∥BC，得出∠OAF=∠COE，由ASA證明△AOF≌△COE，得出OF=OE，得出四邊形AECF是平行四邊形，再由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得出∠AOG=∠ABC=90°，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，
∴AO=CO=$\frac{1}{2}$AC，
∵AC=2AB，BG=AB，
∴AB=AO，AC=AG，
在△ABC和△AOG中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AO}&{\;}\\{∠BAC=∠OAG}&{\;}\\{AC=AG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△AOG（SAS）；
（2）解：四邊形AECF是菱形；理由如下：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD∥BC，
∴∠OAF=∠COE，
在△AOF和△COE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OAF=∠OCE}&{\;}\\{AO=CO}&{\;}\\{∠AOF=∠COE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴OF=OE，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵△ABC≌△AOG，
∴∠AOG=∠ABC=90°，
∴AC⊥EF，
∴四邊形AECF是菱形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定；熟練掌握矩形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證是解決問題的關(guān)鍵．