Question

18．如圖1，在矩形紙片ABCD中，AB=6cm，AD=10cm，折疊紙片使B點落在邊AD上的點E處，折痕為PQ，過點E作EF∥AB交PQ于F，連接BF．
（1）求證：四邊形BFEP為菱形；
（2）當點E在AD邊上移動時，折痕的端點P、Q也隨之移動；
①當點Q與點C重合時（如圖2），求菱形BFEP的邊長；
②若限定P、Q分別在邊BA、BC上移動，求出點E在邊AD上移動的最大距離．
③以F為圓心，EF長為半徑作⊙F，若⊙F與矩形ABCD的兩邊同時相切，求此時AE的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一組對邊平行且相等可證得：四邊形BFEP為平行四邊形，再加上PB=PE可得結(jié)論；
（2）①先由折疊得：EC=BC=10，利用勾股定理得：ED=8，設PE=x，則PB=x，AP=6-x，Rt△APE中，由勾股定理得：（6-x）²+2²=x²，解出即可；
②當點Q與點C重合時，點E離點A最近，由①知，此時AE=2cm；當點P與點A重合時，點E離點A最遠，AE=AB=6cm，即可得出答案；
③當P與A重合，F(xiàn)與Q重合時，⊙F與AB和AD相切，如圖4，根據(jù)圖形得出AE的長．

解答 證明：（1）如圖1，由折疊得：BP=PE，∠BPF=∠EPF，
∵EF∥AB，
∴∠BPF=∠PFE，
∴∠EPF=∠PFE，
∴PE=EF，
∴PB=EF，
∴四邊形BFEP為平行四邊形；
∵PB=PE，
∴四邊形BFEP為菱形；
（2）①如圖2，由折疊得：EC=BC=10，
∵四邊形ABCD平行四邊形，
∴DC=AB=6，∠D=90°，
Rt△EDC中，ED=8，
∴AE=10-8=2，
設PE=x，則PB=x，AP=6-x，
Rt△APE中，由勾股定理得：（6-x）²+2²=x²，
12x=40，
x=$\frac{10}{3}$；
∴PE=$\frac{10}{3}$，
∴菱形BFEP的邊長是$\frac{10}{3}$cm；
②當點Q與點C重合時，如圖2：
點E離點A最近，由①知，此時AE=2cm；
當點P與點A重合時，如圖3所示：
點E離點A最遠，此時四邊形ABQE為正方形，AE=AB=6cm，
∴點E在邊AD上移動的最大距離為4cm．
③當P與A重合，F(xiàn)與Q重合時，⊙F與AB和AD相切，如圖4，
此時AE=AB=6cm．

點評 本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、菱形的判定、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性質(zhì)等知識；本題綜合性強，有一定難度．