Question

9．如圖，矩形ABCD中，AB=4，將矩形ABCD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)B、D分別落在點(diǎn)B′，D′處，且點(diǎn)A，B′，D′在同一直線上，則tan∠DAD′=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 直接利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合相似三角形的判定與性質(zhì)得出DB′的長(zhǎng)進(jìn)而得出答案．

解答 解：由題意可得：AD∥CD′，
故△ADE∽△D′CB′，
則$\frac{DB′}{B′C}$=$\frac{AD}{CD′}$，
設(shè)AD=x，則B′C=x，DB′=4-x，AB=CD′=4，
故$\frac{4-x}{x}$=$\frac{x}{4}$，
解得：x₁=-2-2$\sqrt{5}$（不合題意舍去），x₂=-2+2$\sqrt{5}$，
則DB′=6-2$\sqrt{5}$，
則tan∠DAD′=$\frac{DB′}{AD}$=$\frac{6-2\sqrt{5}}{-2+2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確得出DB′的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．