Question

15．如圖，點(diǎn)E為矩形ABCD中AD邊中點(diǎn)，將矩形ABCD沿CE折疊，使點(diǎn)D落在矩形內(nèi)部的點(diǎn)F處，延長CF交AB于點(diǎn)G，連接AF．
（1）求證：AF∥CE；
（2）探究線段AF，EF，EC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）若BC=6，BG=8，求AF的長．

Answer 1

分析 （1）連接FD交EC于P，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到EF=ED，CF=CD，∠DEC=∠FEC，∠EFG=∠EFC=∠EDC=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AE=ED=EF，求出∠EAF=∠DEC，根據(jù)平行線的判定定理證明；
（2）證明△AFD∽△EDC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)定理計(jì)算即可；
（3）根據(jù)勾股定理求出CG，根據(jù)矩形的性質(zhì)求出AB，根據(jù)（2）的結(jié)論計(jì)算即可．

解答 （1）證明：連接FD交EC于P，
由折疊矩形ABCD可得，EF=ED，CF=CD，∠DEC=∠FEC，∠EFG=∠EFC=∠EDC=90°，
∵點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，
∴AE=ED=EF，
∴∠EAF=∠EFA，
∵∠DEF=∠EAF+∠EFA=∠DEC+∠FEC，
∴∠EAF=∠DEC，
∴AF∥EC；
（2）∵EF=ED，CF=CD，
∴E，C兩點(diǎn)都在線段DF的中垂線上，即EC⊥DF，
∴∠DPE=90°，
∵AF∥EC，
∴∠AFD=∠DPE=∠EDC=90°，
∵∠EAF=∠DEC，∠AFD=∠EDC，
∴△AFD∽△EDC，
∴$\frac{AF}{DE}=\frac{AD}{EC}$，即AF•EC=DE•AD，
∴AF•EC=2EF²；
（3）∵∠GAF+∠EAF=∠GFA+∠EFA=90°，∠EAF=∠EFA，
∴∠GAF=∠GFA，
∴AG=FG，
在Rt△BGC中，BC=6，BG=8，
CG=$\sqrt{B{G}^{2}+B{C}^{2}}$=10，
∵AB=CD=CF，
∴8+AG=10-FG，
∴AG=FG=1，
∴CF=CD=9，
∵AD=BC=6，
∴EF=$\frac{1}{2}$AD=3，
∴在Rt△DEC中，EC=$\sqrt{D{E}^{2}+C{D}^{2}}$=3$\sqrt{10}$，
∵AF•EC=2EF²，
∴3$\sqrt{10}$×AF=2×3²，
解得，AF=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查的是矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理、矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．