Question

7．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，點D從點C出發(fā)沿CA方向以4cm/s的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發(fā)沿AB方向以2cm/s的速度向點B勻速運動，當(dāng)其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設(shè)點D、E運動的時間是ts．過點D作DF⊥BC于點F，連接DE、EF．
（1）用t的代數(shù)式表示：AE=2t；DF=2t；
（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，請說明理由；
（3）當(dāng)t為何值時，△DEF為直角三角形？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩動點的速度與時間表示出AE，CD，在直角三角形CDF中，利用30度角所對的直角邊等于斜邊的一半表示出DF即可；
（2）易證四邊形AEFD是平行四邊形，當(dāng)AD=AE時，四邊形AEFD是菱形，據(jù)此即可列方程求得t的值；
（3）分兩種情況討論即可求解．

解答 解：∵直角△ABC中，∠C=90°-∠A=30°．
∵CD=4t，AE=2t，
又∵在直角△CDF中，∠C=30°，
∴DF=$\frac{1}{2}$CD=2t，
故答案為：2t，2t；
（2）∵DF⊥BC
∴∠CFD=90°
∵∠B=90°
∴∠B=∠CFD
∴DF∥AB，
由（1）得：DF=AE=2t，
∴四邊形AEFD是平行四邊形，
當(dāng)AD=AE時，四邊形AEFD是菱形，
即60-4t=2t，
解得：t=10，
即當(dāng)t=10時，?AEFD是菱形；
（3）分兩種情況：
①當(dāng)∠EDF=90°時，如圖1，DE∥BC．
∴∠ADE=∠C=30°
∴AD=2AE
∵CD=4t，
∴DF=2t=AE，
∴AD=4t，
∴4t=60-4t，
∴t=$\frac{15}{2}$
②當(dāng)∠DEF=90°時，如圖2，DE⊥EF，
∵四邊形AEFD是平行四邊形，
∴AD∥EF，
∴DE⊥AD，
∴△ADE是直角三角形，∠ADE=90°，
∵∠A=60°，
∴∠DEA=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}$AE，
∴60-4t=t，
解得t=12．
綜上所述，當(dāng)t=$\frac{15}{2}$s或12s時，△DEF是直角三角形．

點評 本題主要考查直角三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定、菱形的性質(zhì)等知識點，熟練掌握平行四邊形、菱形的判定是解題的關(guān)鍵．