Question

1．等腰直角△ABC和⊙O如圖①放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半徑為1，圓心O與直線AB的距離為5．現(xiàn)△ABC以每秒2個單位的速度向右移動．

（1）①2.5秒或3.5秒后邊AB所在的直線與⊙O相切．
②當△ABC的邊（BC邊除外）與圓第一次相切時，如圖②，切點為E，連接OE并延長OE交直線BC于點F，設C′D=x，則FC′=$\sqrt{2}$x（用含x的代數(shù)式表示），求點B移動的距離．
（2）現(xiàn)△ABC以每秒2個單位的速度向右移動，同時△ABC的邊長AB、BC又以每秒0.5個單位的速度沿BA、BC方向增大．
①若在△ABC移動的同時，⊙O也以每秒1個單位的速度向右移動，則△ABC從開始移動，到它的邊與圓最后一次相切，一共經(jīng)過了多少時間？
②是否存在某一時刻，△ABC各邊剛好與⊙O都相切？若存在，求出剛好符合條件時兩個圖形移動了多少時間？若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）①直接利用圓心O與直線AB的距離為5，以及⊙O的半徑為1和△ABC移動的速度求出答案；
②第一次相切時，與斜邊相切，假設此時，△ABC移至△A′B′C′處，A′C′與⊙O切于點D，連OD并延長，交B′C′于F．由切線長定理易得CC′的長，進而由三角形運動的速度可得答案；
（2）①△ABC與⊙O從開始運動到最后一次相切時，應為AB與圓相切，路程差為6，速度差為1，故從開始運動到最后一次相切的時間為6秒；
②求出⊙O與△A′B′C′第二次相切時運動的時間，連接B′′O并延長交A′′C′′于點P，則B′′P⊥A′′C′′，求出OP的長即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）①∵⊙O的半徑為1，圓心O與直線AB的距離為5，現(xiàn)△ABC以每秒2個單位的速度向右移動，
∴當移動$\frac{5}{2}$=2.5（秒），或$\frac{7}{2}$=3.5（秒）時，邊AB所在的直線與⊙O相切．
故答案為：2.5秒或3.5；

②如圖2，由題意可得：C′D=C′E=x，∠A′C′B′=45°，∠OEC′=90°，
則∠OFD=45°，故EF=EC′=x，
則FC′=$\sqrt{2}$x，
∵DO=DF=1，
∴x+$\sqrt{2}$x=1，
解得：x=$\sqrt{2}$-1，
則點B移動的距離為：BB′=CC′=BD-BC-DC′=5-1-（$\sqrt{2}$-1）=5-$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$x；

（2）①設一共經(jīng)過了t秒，根據(jù)題意得：2t-5=t+1，
解得：t=6．
則△ABC從開始移動，到它的邊與圓最后一次相切，一共經(jīng)過6秒；

②∵△ABC與⊙O從開始運動到第二次相切時，2t+1=t+5，
解得t=4，
∴從開始運動到第二次相切的時間為4秒，此時△ABC移至△A′′B′′C′′處，A′′B′′=1+4×$\frac{1}{2}$=3
如圖3，連接B′′O并延長交A′′C′′于點P，則B′′P⊥A′′C′′，且OP=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$-$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜1，
∴此時⊙O與A′′C′′相交，
∴不存在△ABC各邊與⊙O都相切．

點評 本題考查的是圓的綜合題，涉及的知識有：圓與直線的位置關(guān)系、切線長定理、切線的性質(zhì)、平移的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，利用數(shù)形結(jié)合再利用方程求出是解題關(guān)鍵．