Question

8．如圖，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD是BC上的中線，CE⊥AD于F，交AB于E，連結(jié)DE，問∠CDA與∠BDE相等嗎？為什么？

Answer 1

分析 作CH⊥AB于H，交AD于G，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠ACH=∠BCH=45°，即∠ACG=45°，∠B=45°，由CE⊥AD，根據(jù)等角的余角相等得到∠1=∠2，則可根據(jù)“ASA”判斷△AGC≌△CEB，得到CG=BE，然后根據(jù)“SAS”證明△CGD≌△BED，則可得到∠CDA=∠EDB．

解答 解：作CH⊥AB于H，交AD于G，如圖，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴∠ACH=∠BCH=45°，即∠ACG=45°，∠B=45°
∵CE⊥AD，
∴∠1+∠ACE=∠2+∠ACE=90°，
∴∠1=∠2，
在△AGC和△CEB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{AC=CB}\\{∠ACG=∠CBE}\end{array}\right.$，
∴△AGC≌△CEB（ASA），
∴CG=BE，
∵AD為腰CB上的中線，
∴CD=BD，
在△CGD和△BED中
$\left\{\begin{array}{l}{CG=BE}\\{∠GCD=∠B}\\{CD=BD}\end{array}\right.$，
∴△CGD≌△BED（SAS），
∴∠CDA=∠EDB．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．此題同時也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)．