Question

15．如圖在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)．∠MDN=90°，∠MDN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，DM、DN分別與邊AB、AC交于E、F兩點(diǎn)．下列結(jié)論：
①AE=CF；
②S_{四邊形AEDF=}$\frac{1}{2}$S_△ABC；
③DE≤$\frac{1}{2}$AB；
④AD與EF可能互相垂直，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 只要證明△AED≌△CFD可得①②正確，當(dāng)DE⊥AB時(shí)，DE的值最小，DE的最小值=$\frac{1}{2}$AB，推出DE≥$\frac{1}{2}$AB，故③錯(cuò)誤，當(dāng)DE⊥AB時(shí)，四邊形AEDF是正方形，此時(shí)EF與AD互相平分，故④正確，由此即可判斷．

解答 解：∵Rt△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，
∴∠C=∠BAD=45°，AD=BD=CD，
∵∠MDN=90°，
∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF．
在△AED與△CFD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠EAD=∠C}\\{AD=CD}\\{∠ADE=∠CDF}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△CFD（ASA），
∴AE=CF，故①正確，
∴S_{四邊形AEDF}=S_△AED+S_△ADF=S_△CFD+S_△ADF=S_△ADC=$\frac{1}{2}$S_△ABC，故②正確，
∵當(dāng)DE⊥AB時(shí)，DE的值最小，DE的最小值=$\frac{1}{2}$AB，
∴DE≥$\frac{1}{2}$AB，故③錯(cuò)誤，
∵當(dāng)DE⊥AB時(shí)，四邊形AEDF是正方形，此時(shí)EF與AD互相平分，故④正確，
∴①②④正確，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，圖形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考常考題型．