Question

7．如圖：兩條寬為a的紙條，交叉重疊放在一起，且它們的交角為α，則重疊部分的面積（陰影部分）為（　�。�

• A． a²sinα
• B． a²
• C． $\frac{{a}^{2}}{sinα}$
• D． $\frac{{a}^{2}}{cosα}$

Answer 1

分析 首先過A作AE⊥BC，AF⊥CD于F，垂足為E，F(xiàn)，證明四邊形ABCD是菱形，利用三角函數(shù)算出BC的長(zhǎng)，最后根據(jù)菱形的面積公式算出重疊部分的面積即可．

解答 解：如圖所示：過A作AE⊥BC，AF⊥CD于F，垂足為E，F(xiàn)，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
∵AD∥CB，AB∥CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵紙條寬度都為a，
∴AE=AF=a，
∵四邊形ABCD的面積=BC•AE=CD•AF，
∴BC=CD，
∴四邊形ABCD是菱形．
∴BC=AB，
∵$\frac{AE}{AB}$=sinα，
∴BC=AB=$\frac{AE}{sinα}$=$\frac{a}{sinα}$，
∴重疊部分（陰影部分）的面積為=BC×AE=$\frac{a}{sinα}$×a=$\frac{{a}^{2}}{sinα}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)，以及三角函數(shù)的應(yīng)用；關(guān)鍵是證明四邊形ABCD是菱形，利用三角函數(shù)求出BC的長(zhǎng)．