Question

1．解方程：12x⁴-56x³+89x²-56x+12=0．

Answer 1

分析 觀察方程的系數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)系數(shù)有以下特點(diǎn)：x⁴的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)相同，x³的系數(shù)與x的系數(shù)相同，像這樣的方程我們稱為倒數(shù)方程．由于x≠0，故可將方程的兩邊同時除以x²，化高次方程為低次方程；根據(jù)所得方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，運(yùn)用十字相乘法將方程的左邊因式分解即可解決問題．

解答 解：∵12x⁴-56x³+89x²-56x+12=0，且x≠0，
∴方程兩邊同除以x²得：12x²-56x+89-$\frac{56}{x}$+$\frac{12}{{x}^{2}}$=0，
故12（x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$）-56（x+$\frac{1}{x}$）+89=0，
12（x+$\frac{1}{x}$）²-56（x+$\frac{1}{x}$）+65=0，
[2（x+$\frac{1}{x}$）-5][6（x+$\frac{1}{x}$）-13]=0，
∴x+$\frac{1}{x}$=$\frac{5}{2}$，解得x₁=2，x₂=$\frac{1}{2}$；
x+$\frac{1}{x}$=$\frac{13}{6}$，解得x₃=$\frac{2}{3}$，x₄=$\frac{3}{2}$．
故方程12x⁴-56x³+89x²-56x+12=0的解為x₁=2，x₂=$\frac{1}{2}$，x₃=$\frac{2}{3}$，x₄=$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評 此題考查了特殊高次方程的求解問題；解決該類問題的一般思路是：將低次數(shù)，化高次方程為低次方程；靈活運(yùn)用解決一般方程的思路、方法來求解．