Question

20．已知，如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為12，菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E，G，H分別在正方形ABCD的邊AB，CD，DA上，AH=4，連接CF．
（1）當(dāng)DG=4時(shí)，求∠GHE的度數(shù)及△FCG的面積；
（2）設(shè)DG=x，用含x的代數(shù)式表示△FCG的面積；
（3）判斷△FCG的面積能否等于4，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由于四邊形ABCD為正方形，四邊形HEFG為菱形，那么∠D=∠A=90°，HG=HE，而AH=DG=2，易證△AHE≌△DGH，從而有∠DHG=∠HEA，等量代換可得∠AHE+∠DHG=90°，易證四邊形HEFG為正方形；再證明△AHE≌△MFG即可解決問題；
（2）欲求△FCG的面積，由已知得CG的長(zhǎng)易求，只需求出GC邊的高即可；
（3）不能．如果24-2x=4，x=10，此時(shí)DG=10，GH=HE=$\sqrt{1{0}^{2}+{8}^{2}}$=$\sqrt{164}$，易知AE=$\sqrt{E{H}^{2}-A{H}^{2}}$=$\sqrt{164-16}$=$\sqrt{148}$＞12，推出點(diǎn)E不在正方形的邊AB上，不合題意；

解答 解：（1）在△HDG和△AEH中，
∵四邊形ABCD是正方形，∴∠D=∠A=90°，
∵四邊形EFGH是菱形，
∴HG=HE，
∵DG=AH=4，
在Rt△HDG和Rt△AEH中，
$\left\{\begin{array}{l}{HG=HE}\\{DG=AH}\end{array}\right.$，
∴Rt△HDG≌Rt△AEH，
∴∠DHG=∠AEH，AE=HD=8，
∴∠DHG+∠AHE=90°
∴∠GHE=90°，
過F作FM⊥CD，垂足為M，連接GE
∵CD∥AB，
∴∠AEG=∠MGE，
∵GF∥HE，
∴∠HEG=∠FGE，
∴∠AEH=∠FGM，
在Rt△AHE和Rt△GFM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠M=90°}\\{∠AEH=∠FGM}\\{HE=FG}\end{array}\right.$，
∴Rt△AHE≌Rt△MFG，
∴MF=AH=4，GM=AE=8，
∴S_△FCG=$\frac{1}{2}$•CG•FM=$\frac{1}{2}$×8×4=16．

（2）由（1）可知，Rt△AHE≌Rt△MFG，
∴FM=AH=4，
∵GC=12-x，
∴S_△CFG=$\frac{1}{2}$•CG•FM=24-2x   

（3）不能．
理由：如果24-2x=4，x=10，
此時(shí)DG=10，GH=HE=$\sqrt{1{0}^{2}+{8}^{2}}$=$\sqrt{164}$，
易知AE=$\sqrt{E{H}^{2}-A{H}^{2}}$=$\sqrt{164-16}$=$\sqrt{148}$＞12，
∴點(diǎn)E不在正方形的邊AB上，不合題意，
∴△GCF的面積不可能為4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．