Question

14．認真閱讀下面的材料，完成有關(guān)問題
材料：在學(xué)習(xí)絕對值時，我們知道了絕對值的幾何含義，如|5-3|表示5、3在數(shù)軸上對應(yīng)的兩點之間的距離；|5+3|=|5-（-3）|，所以|5+3|表示5、-3在數(shù)軸上對應(yīng)的兩點之間的距離；|5|=|5-0|，所以|5|表示5在數(shù)軸上對應(yīng)的點到原點的距離．
一般地，點A、B、C在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)x、-2、1，那么A到B的距離與A到C的距離之和可表示為|x+2|+|x-1|（用含絕對值的式子表示）．
（2）利用數(shù)軸探究：
①滿足|x-3|+|x+1|=6的x的所有值是-2，4．
②|x-3|+|x+1|的最小值是4．
（3）求|x-3|+|x+1|+|x-2|的最小值以及取最小值時x的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩點間的距離公式，可得答案；
（2）①根據(jù)兩點間的距離公式，點在線段上，即可解答；
②為x為有理數(shù)，所以要分類討論x-1與x+3的正負，再去掉絕對值符號再計算；
（3）|x-3|+|x-2|+|x+1|=（|x-3|+|x+1|）+|x-2|，根據(jù)問題（2）中的探究②可知，要使|x-3|+|x+1|的值最小，x的值只要取-1到3之間（包括-1、3）的任意一個數(shù)，要使|x-2|的值最小，x應(yīng)取2，顯然當(dāng)x=2時能同時滿足要求，把x=2代入原式計算即可．

解答 解：（1）A到B的距離與A到C的距離之和可表示為|x+2|+|x-1|，故答案為：|x+2|+|x-1|；
（2）①根據(jù)數(shù)軸可得，滿足|x-3|+|x+1|=6的x的所有值是-2，4，故答案為：-2，4；
②：因為x為有理數(shù)，就是說x可以為正數(shù)，也可以為負數(shù)，也可以為0，所以要分情況討論．
當(dāng)x＜-1時，x+1＜0，x-3＜0，所以|x+1|+|x-3|=-（x+1）-（x-3）=-2x+2＞4；
當(dāng)-1≤x＜3時，x+1≥0，x-3＜0，所以|x+1|+|x-3|=（x+1）-（x-3）=4；
當(dāng)x≥3時，x+1＞0，x+3≥0，所以|x-3|+|x+1|=（x-3）+（x+1）=2x+2≥4；
綜上所述，所以|x-1|+|x+3|的最小值是4．
故答案為：4．
（3）由分析可知，
當(dāng)x=2時能同時滿足要求，把x=2代入原式=1+0+3=4．

點評 本題考查了絕對值，讀懂題目信息，理解絕對值的幾何意義是解題的關(guān)鍵．