Question

2．某公司銷售某一種新型通訊產品，已知每件產品的進價為4萬元，每月銷售該種產品的總開支（不含進價）總計11萬元．在銷售過程中發(fā)現，月銷售量y（件）與銷售單價x （萬元）之間存在著如圖所示的一次函數關系．
（1）求y關于x的函數關系式（直接寫出結果）
（2）試寫出該公司銷售該種產品的月獲利z（萬元）關于銷售單價x（萬元）的函數關系式、當銷售單價x為何值時，月獲利最大？并求這個最大值（月獲利=月銷售額-月銷售產品總進價-月總開支）
（3）若公司希望該產品一個月的銷售獲利不低于5萬元，借助（2）中函數的圖象，請你幫助該公司確定銷售單價的范圍．在此情況下，要使產品銷售量最大，你認為銷售單價應定為多少萬元．

Answer 1

分析 （1）根據函數圖象，利用待定系數法求解可得；
（2）根據“總利潤=單價利潤×銷售量-總開支”列出函數解析式，由二次函數的性質可得最值；
（3）由“銷售獲利不低于5萬元”結合二次函數的圖象得出x的范圍，再根據銷售量最大，又要使月獲利不低于5萬元可得答案．

解答 解：（1）設y=kx+b，
將點（6，5）、（8，4）代入，得：
$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=5}\\{8k+b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x+8；

（2）根據題意得：
z=（x-4）y-11
=（x-4）（-$\frac{1}{2}$x+8）-11
=-$\frac{1}{2}$x²+10x-43
=-$\frac{1}{2}$（x-10）²+7，
∴當x=10萬元時，最大月獲利為7萬元．

（3）令z=5，得：5=-$\frac{1}{2}$x²+10x-43，
整理得：x²-20x+96=0，
解得：x₁=8，x₂=12，

由圖象可知，要使月獲利不低于5萬元，銷售單價應在8萬元到12萬元之間．
∵銷售單價越低，銷售量越大，
∴要使銷售量最大，又要使月獲利不低于5萬元，銷售單價應定為8萬元．

點評 本題主要考查二次函數的應用，熟練掌握待定系數法求函數解析式及二次函數的圖象和性質是解題的關鍵．