Question

17．如圖，點A（-1，m）是雙曲線y₁=$\frac{k}{x}$與直線y₂=-x-（k+1）在第二象限的交點，另一個交點C在第四象限，AB⊥x軸于B，且cos∠AOB=$\frac{\sqrt{10}}{10}$
（1）求m的值；
（2）求△AOC的面積；
（3）直接寫出使y₁＞y₂成立的x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件得到OB=1，由cos∠AOB=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，得到OA=$\sqrt{10}$，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；
（2）先把兩函數(shù)的解析式聯(lián)立組成方程組，求出x、y的值，得出A、C兩點的坐標，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；
（3）觀察圖象，根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點坐標即可求出一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值x的取值范圍．

解答 解：（1）∵A（-1，m），AB⊥x軸于B，
∴OB=1，
∵cos∠AOB=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴OA=$\sqrt{10}$，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}-O{B}^{2}}$=3，
∴A（-1，3），
∴m=3；
（2）∵A（-1，3）是雙曲線y₁=$\frac{k}{x}$與直線y₂=-x-（k+1）在第二象限的交點，
∴k=-3，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y₁=-$\frac{3}{x}$，一次函數(shù)的解析式為：y₂=-x+2，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2}\\{y=-\frac{3}{x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
∴C（3，-1），
∴△AOC的面積=$\frac{1}{2}×$2×1+$\frac{1}{2}×$2×3=4；
（3）由圖象知，y₁＞y₂成立的x的取值范圍為：x＜-1或0＜x＜3．

點評 此題考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義，反比例函數(shù)的性質(zhì)，求兩函數(shù)的交點坐標，比較函數(shù)值的大小，三角形的面積等知識，能根據(jù)△ABO的面積求出k的值是解答此題的關(guān)鍵．