Question

1．如圖，在△ABC中，已知CA=CB=5，BA=6，點(diǎn)E是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），點(diǎn)F是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接CE、EF，若在點(diǎn)E、點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)過程中，始終保證∠CEF=∠B．
（1）求證：∠AEF=∠BCE；
（2）當(dāng)以點(diǎn)C為圓心，以CF為半徑的圓與AB相切時(shí)，求BE的長；
（3）探究：在點(diǎn)E、F的運(yùn)動(dòng)過程中，△CEF可能為等腰三角形嗎？若能，求出BE的長；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）設(shè)⊙C與BA切于點(diǎn)M，則CM=CF，CM⊥BA，根據(jù)垂徑定理得到BM=AM=$\frac{AB}{2}$=3，根據(jù)勾股定理得到CF=CM=4，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{EA}{BC}=\frac{AF}{BE}$，設(shè)BE長為x，則EA長為6-x即可得到結(jié)論；
（3）①當(dāng)CE=CF時(shí)推出EF∥AB，此時(shí)E與B重合，與條件矛盾，不成立．②當(dāng)CF=EF時(shí)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE=AB-5=1，③當(dāng)CF=EF時(shí)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵∠B+∠BCE=∠CEA=∠CEF+∠FEA，
∵∠CEF=∠B，
∴∠AEF=∠BCE；

（2）解：如圖1，設(shè)⊙C與BA切于點(diǎn)M，則CM=CF，CM⊥BA，
∵CA=CB，CM⊥BA∴BM=AM=$\frac{AB}{2}$=3，
Rt△AMC中，AC=5，AM=3，
∴CF=CM=4，
∴AF=1，
∵CA=CB∴∠B=∠C
由（1）知∠AEF=∠BCE
∴△AEF∽△BCE，
∴$\frac{EA}{BC}=\frac{AF}{BE}$，
設(shè)BE長為x，則EA長為6-x
∴$\frac{6-x}{5}=\frac{1}{x}$，
解得：x₁=1，x₂=5，
答：BE的長為1或5；
（3）可能．如圖2，
①當(dāng)CE=CF時(shí)，∠3=∠2=∠A，
∴EF∥AB，此時(shí)E與B重合，與條件矛盾，不成立．
②當(dāng)CE=EF時(shí)，
又∵△AEF∽△BCE，
∴△AEF≌△BCE，
∴AE=BC=5，
∴BE=AB-5=1，
③當(dāng)CF=EF時(shí)，∠1=∠2=∠A=∠B，
△FCE∽△CBA，
∴$\frac{EF}{AC}=\frac{CE}{AB}$，
∴$\frac{EF}{CE}$=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{5}{6}$，
∵△AEF∽△BCE
∴$\frac{EA}{BC}$=$\frac{EF}{CE}$=$\frac{5}{6}$
∴EA=$\frac{5}{6}$BC=$\frac{5}{6}$×5=$\frac{25}{6}$，
∴EB=AB-$\frac{25}{6}$=$\frac{11}{6}$．
答：當(dāng)BE的長為1或$\frac{11}{6}$時(shí)，△CFE為等腰三角形．

點(diǎn)評 此題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，直線與圓的位置關(guān)系．解答（3）題時(shí)，一定要分類討論，以防漏解．