Question

6．問題背景：
如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且∠EAF=60°．探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．
小王同學(xué)探究此問題的方法是，延長FD到點G．使DG=BE．連結(jié)AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是EF=BE+FD；

探索延伸：
如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；
實際應(yīng)用：
如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時的速度前進，1.5小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時兩艦艇之間的距離．

Answer 1

分析 問題背景中，根據(jù)小亮的設(shè)計可以得到所要的結(jié)論；
探索延伸中，先判斷結(jié)論是否成立，然后根據(jù)圖形和題目中條件，作出合適的輔助線，進行說明即可；
在實際應(yīng)用中，根據(jù)題目中的條件進行合理的推導(dǎo)，只要能說明符合探索延伸的條件，即可解答本題．

解答 解：問題背景：
∵小王同學(xué)探究此問題的方法是，延長FD到點G．使DG=BE．連結(jié)AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，
∴EF=FG，F(xiàn)G=FD+DG=FD+BE，
∴EF=BE+FD，
故答案為：EF=BE+FD；
探索延伸：
上述結(jié)論EF=BE+FD成立，
理由：如圖2，延長FD到點G，使得DG=BE，連接AG，
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADC=180°，
∴∠B=∠ADG，
∵AB=AD，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠DAF+∠BAE=∠BAD-∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠GAF=∠EAF，
又∵AG=AE，AF=AF，
∴△AFG≌△AFE（SAS），
∴EF=GF，
∵GF=DF+DG=DF+BE，
∴EF=BE+FD；
實際應(yīng)用：
如圖3，連接EF，延長AE、BF相交于點C，
在四邊形AOBC中，
∵∠AOB=30°+90°+（90°-70°）=140°，∠FOE=70°=$\frac{1}{2}∠AOB$，
又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=（90°-30°）+（70°+50°）=60°+120°=180°，
∴圖3符合探索延伸的條件，
∴EF=AE+FB=1.5×（60+80）=210（海里），
即此時兩艦艇之間的距離210海里．

點評 本題考查三角形綜合題，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想進行解答．