Question

5．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，邊AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，垂足為E，AD平分∠BAC．
（1）求∠B的度數(shù)；
（2）求證：CD=$\frac{1}{3}$BC；
（3）若AC=2，點(diǎn)P是直線AD上的動(dòng)點(diǎn)，求|PB-PC|的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得AD=BD，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠BAD=∠B，然后利用直角三角形兩銳角互余列式求出∠CAD=∠BAD=∠B=30°；
（2）根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得AD=2CD，根據(jù)AD=BD，從而得出BD=2CD，得出BC=BD+CD=3CD，即可證得CD=$\frac{1}{3}$BC；
（3）作C點(diǎn)關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)C′，作直線BC′交AD于P，此時(shí)|PB-PC|的值最大，最大值為AC的長(zhǎng)．

解答 解：（1）∵DE是AB的垂直平分線，
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠B，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
∵∠C=90°，
∴∠B+2∠B=90°，
∴∠B=30°．
（2）∵∠CAD=∠BAD=∠B=30°，
∴AD=2CD，
∵AD=BD，
∴BD=2CD，
∴BC=BD+CD=3CD，
∴CD=$\frac{1}{3}$BC；
（3）作C點(diǎn)關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)C′，
∵AD平分∠BAC．
∴C′在直線AB上，連接BC′的直線就是AB，
∴P點(diǎn)就是A點(diǎn)，
此時(shí)|PB-PC|的最大值為AC′，
∵AC=AC′，
∴|PB-PC|的最大值=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．