Question

2．如圖所示，△ABC是等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒$\frac{BC}{30}$個(gè)單位向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，在AB上取點(diǎn)E，使得DE=AE+CD，在AC上取點(diǎn)F使得DF平分∠EDC，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．
（1）連接EF，是否存在某一時(shí)刻，使得△DEF存在一邊為另一邊長(zhǎng)度的2倍？若存在，試求t的值，若不存在，試說(shuō)明理由；
（2）是否存在某一時(shí)刻，使得DE=BD+CF？若存在，試求t的值，若不存在，試說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）作輔助線，構(gòu)建全等三角形和直角三角形，證明△HDF≌△CDF和△EMH≌△ENP，得∠EFD=90°，當(dāng)△DEF存在一邊為另一邊長(zhǎng)度的2倍時(shí)，分兩種情況：
①當(dāng)ED=2DF時(shí)，∠DEF=30°，證明△BED∽△CDF，得$\frac{ED}{DF}=\frac{BD}{CF}=2$，則BD=2CF，得出BD與BC的關(guān)系，計(jì)算時(shí)間t=20；
②當(dāng)DE=2EF時(shí)，∠EDF=30°，則∠EDC=60°，t=0
（2）如圖2，過(guò)E作EM∥BC，交AC于M，延長(zhǎng)EF和BC交于N，根據(jù)各條線段的關(guān)系得出：2CD=3CF，設(shè)CD=3k，CF=2k（k＞0），證明△DFH∽△FNH，分別表示出BD、CB的長(zhǎng)，求出時(shí)間t．

解答 解：（1）如圖1，取DE上一點(diǎn)H，使AE=EH，則DH=DC，
∵∠EDF=∠CDF，DF=DF，
∴△HDF≌△CDF，
∴∠DHF=∠C=60°，
過(guò)E作EN⊥AC于N，EM⊥FH于M，過(guò)E作EP∥BC，交AC于P，
∵∠EHF=∠EPF=180°-60°=120°，
∴∠EHM=∠EPN=60°，
∵EH=EP，∠EMH=∠ENP=90°，
∴△EMH≌△ENP，
∴EM=EN，
∵EF=EF，
∴△EMF≌△ENF，
∴MF=NF，∠MFE=∠EFN，
∵M(jìn)H=NP，
∴HF=PF，
∵∠HFD=∠DFC，
∴∠EFM+∠DFM=90°，
即∠EFD=90°，
①當(dāng)ED=2DF時(shí)，∠DEF=30°，
∵∠DHF=60°，∠EDF=60°，
∴∠EDB+∠FDC=120°，
∵∠BED+∠BDE=120°，
∴∠BED=∠FDC，
∴△BED∽△CDF，
∴$\frac{ED}{DF}=\frac{BD}{CF}=2$，
∴BD=2CF，
∵∠DEF=30°，∠DHF=60°，
∴∠HFE=30°，
∴EH=FH=EP=PF，
∵EP=AP，
∴AP=PF=HF=FC，
∴CF=$\frac{1}{3}$AC，
∴BD=2CF=2×$\frac{1}{3}AC$=$\frac{2}{3}BC$，
∴t=$\frac{BD}{\frac{BC}{30}}$=$\frac{2}{3}BC$$•\frac{30}{BC}$=20，
②當(dāng)DE=2EF時(shí)，∠EDF=30°，
則∠EDC=60°，
此時(shí)D與C重合，
∴t=0
綜上所述，當(dāng)t=0或2時(shí)，使得△DEF存在一邊為另一邊長(zhǎng)度的2倍；
（2）存在某一時(shí)刻，使得DE=BD+CF，
如圖2，過(guò)E作EM∥BC，交AC于M，延長(zhǎng)EF和BC交于N，
由（1）得：△MEF≌△CNF，
∴EM=CN，MF=FC，
∵△AEM是等邊三角形，
∴AE=AM=EM，
∵DE=AE+CD，AE=AM，
∴AC=AM+MF+FC=BC=BD+CD，
即2CF+AE=BD+CD①，
當(dāng)DE=BD+CF時(shí)，
∵DE=AE+CD，
∴AE+CD=BD+CF②，
由①②得：2CD=3CF，
∴$\frac{CD}{CF}=\frac{3}{2}$，
設(shè)CD=3k，CF=2k（k＞0），
作FH⊥CD于H，
∵∠ACB=60°，
∴∠HFC=30°，
∴CH=$\frac{1}{2}$CF=k，F(xiàn)H=$\sqrt{3}$k，DH=CD-CH=2k，
由（1）得∠DFN=90°，F(xiàn)H⊥CD，
∴△DFH∽△FNH，
∴$\frac{FH}{DH}=\frac{HN}{FH}$，
∴FH²=DH•HN，
即$（\sqrt{3}k）^{2}=2k（k+CN）$，
CN=$\frac{1}{2}$k，
∴CN=EM=AM=$\frac{1}{2}$k，
∴CB=AC=$\frac{1}{2}k$+2k+2k=$\frac{9}{2}k$，
∴BD=CB-DC=$\frac{9}{2}$k-2k=$\frac{3}{2}$k，
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{\frac{3}{2}k}{\frac{9}{2}k}$=$\frac{1}{3}$，
則此時(shí)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=$\frac{BD}{\frac{BC}{30}}$=$\frac{30BD}{BC}$=10，
所以當(dāng)t=10秒時(shí)，DE=BD+CF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定、等邊三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，并構(gòu)建恰當(dāng)?shù)妮o助線，難度較大；利用線段和的大小關(guān)系及線段的相等關(guān)系得出三角形全等，從而由性質(zhì)得出邊和角的關(guān)系，同時(shí)采用了分類(lèi)討論的思想，數(shù)形結(jié)合，得出結(jié)論．