Question

6．如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，垂足為點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作⊙O 的切線，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，聯(lián)結(jié)PD．
（1）判斷直線PD與⊙O的位置關(guān)系，并加以證明；
（2）聯(lián)結(jié)CO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)FP交CD于點(diǎn)G，如果CF=10，cos∠APC=$\frac{4}{5}$，求EG的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OD．欲證PD是⊙O的切線，只需證明OD⊥PD即可；通過(guò)全等三角形△COP≌△DOP（SAS）的對(duì)應(yīng)角∠OCP=∠ODP=90°來(lái)證明該結(jié)論；
（2）作FM⊥AB于點(diǎn)M，先求得∠3=∠APC，從而求得$cos∠3=\frac{CE}{OC}=\frac{4}{5}$，得出CE=4，OE=3，然后證得△OFM≌△OCE，得出FM=CE=4，OM=OE=3．
在Rt△OCE中，$cos∠APC=\frac{PC}{OP}=\frac{4}{5}$，設(shè)PC=4k，OP=5k，則OC=3k，進(jìn)而得出$k=\frac{5}{3}$，從而求得$PE=OP-OE=\frac{16}{3}$，$PM=OP+OM=\frac{34}{3}$，
通過(guò)△PGE∽△PFM得出$\frac{GE}{FM}=\frac{PE}{PM}$，即可求得EG的長(zhǎng)．

解答 （1）PD與⊙O相切于點(diǎn)D；
證明：連接OD
∵在⊙O中，OD=OC，AB⊥CD于點(diǎn)E，
∴∠COP=∠DOP． 
在△OCP和△ODP中
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OC}\\{∠COP=∠DOP}\\{OP=OP}\end{array}\right.$
∴△OCP≌△ODP（SAS）．
∴∠OCP=∠ODP．
又∵PC切⊙O于點(diǎn)C，OC為⊙O半徑，
∴OC⊥PC，
∴∠OCP=90°．
∴∠ODP=90°．
∴OD⊥PD于點(diǎn)D．
∴PD與⊙O相切于點(diǎn)D．

（2）作FM⊥AB于點(diǎn)M．
∵∠OCP=90°，CE⊥OP于點(diǎn)E，
∴∠3+∠4=90°，∠APC+∠4=90°．
∴∠3=∠APC．
∵$cos∠APC=\frac{4}{5}$，
∴Rt△OCE中，$cos∠3=\frac{CE}{OC}=\frac{4}{5}$．
∵CF=10，
∴$OF=OC=\frac{1}{2}CF=5$．
∴CE=4，OE=3．
又∵FM⊥AB，AB⊥CD，
∴∠FMO=∠CEO=90°．
在△OFM和△OCE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠5=∠1}\\{∠FMO=∠CEO}\\{OF=OC}\end{array}\right.$
∴△OFM≌△OCE（AAS）．
∴FM=CE=4，OM=OE=3．
∵在Rt△OCE中，$cos∠APC=\frac{PC}{OP}=\frac{4}{5}$，設(shè)PC=4k，OP=5k，
∴OC=3k．
∴3k=5，$k=\frac{5}{3}$．
∴$OP=\frac{25}{3}$．
∴$PE=OP-OE=\frac{16}{3}$，$PM=OP+OM=\frac{34}{3}$．
又∵∠FMO=∠GEP=90°，
∴FM∥GE．
∴△PGE∽△PFM．
∴$\frac{GE}{FM}=\frac{PE}{PM}$，即$\frac{GE}{4}=\frac{{\frac{16}{3}}}{{\frac{34}{3}}}$．
∴$GE=\frac{32}{17}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判斷和性質(zhì)，三角形全等的判斷和性質(zhì)，相似三角形的判斷和性質(zhì)，直角三角函數(shù)等，作出輔助線根據(jù)全等三角形是解題的關(guān)鍵．