Question

3．如圖，在Rt△ABC中，∠B=30°，BC=$\sqrt{3}$，以BC為直徑畫半圓，交斜邊AB于D，則圖中陰影部分的面積為$\frac{5\sqrt{3}}{16}$-$\frac{π}{8}$．

Answer 1

分析 連接OD，過O作OH⊥BD于H，由BC為直徑，得到∠BDC=90°，解直角三角形得到BD=$\frac{3}{2}$，AC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BC=1，OH=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，根據圖形的面積公式即可得到結論．

解答 解：連接OD，過O作OH⊥BD于H，
∵BC為直徑，
∴∠BDC=90°，
∵∠B=30°，BC=$\sqrt{3}$，
∴∠DOC=60°，BD=$\frac{3}{2}$，
∵∠ACB=90°，
∴AC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BC=1，
∵∠OHB=90°，
∴OH=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴陰影部分的面積=S_△ACB-S_△BDC-S_扇形ODC=$\frac{1}{2}×$1×$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$-$\frac{60π•（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}{360}$=$\frac{5\sqrt{3}}{16}$-$\frac{π}{8}$，
故答案為：$\frac{5\sqrt{3}}{16}$-$\frac{π}{8}$．

點評 本題考查扇形面積公式、直角三角形30度角性質、解題的關鍵是學會分割法求面積，屬于中考常考題型．