Question

4．如圖，已知點A、B、C、D均在以BC為直徑的圓上，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，四邊形ABCD的周長為10，則圖中陰影部分的面積為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 連接OA、OD，則陰影部分的面積等于梯形的面積減去三角形的面積．根據(jù)題目中的條件不難發(fā)現(xiàn)等邊三角形AOD、AOB、COD，從而求解．

解答 解：設(shè)圓心為O，連接OA、OD．
∵AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，
∴∠BCD=60°，
∵AC平分∠BCD，
∴∠ACD=30°，
∴∠AOD=2∠ACD=60°，∠OAC=∠ACO=30°．
∴∠BAC=90°，
∴BC是直徑，
又∵OA=OD=OB=OC，
則△AOD、△AOB、△COD都是等邊三角形．
∴AB=AD=CD．
又∵四邊形ABCD的周長為10cm，
∴OB=OC=AB=AD=DC=2（cm）．
∴陰影部分的面積=S_梯形-S_△ABC=$\frac{1}{2}$（2+4）×$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$×4×$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．
故答案為$\sqrt{3}$．

點評 此題綜合考查了梯形的面積，三角形的面積以及等邊三角形的判定和性質(zhì)．作出輔助線構(gòu)建等邊三角形是解題的關(guān)鍵．