Question

14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=2x²+bx+c的圖形經(jīng)過點（-1，0）和（$\frac{3}{2}$，0）兩點．
（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）當(dāng)-$\frac{3}{2}$＜x＜1時，求y的取值范圍；
（3）一次函數(shù)y=mx+1的圖象與二次函數(shù)y=2x²+bx+c圖象交點的橫坐標(biāo)分別是e和f，其中e＜2＜f，試求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)函數(shù)的增減性，可得答案；
（3）根據(jù)聯(lián)立函數(shù)解析式，可得函數(shù)交點坐標(biāo)，根據(jù)交點坐標(biāo)，可得不等式，根據(jù)解不等式，可得答案．

解答 解：（1）二次函數(shù)y=2x²+bx+c的圖形經(jīng)過點（-1，0）和（$\frac{3}{2}$，0）兩點，得
$\left\{\begin{array}{l}{2-b+c=0}\\{\frac{9}{2}+\frac{3}{2}b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
此二次函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=2x²-x-3；
（2）當(dāng)-$\frac{3}{2}$＜x＜$\frac{1}{4}$時，y隨x的增大而減小，
當(dāng)x=-$\frac{3}{2}$時，y_最大=3，
當(dāng)x=$\frac{1}{4}$時，y_最小=-$\frac{25}{8}$，
當(dāng)-$\frac{3}{2}$＜x＜1時，求y的取值范圍是-$\frac{25}{8}$＜y＜3；
（3）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=m+1}\\{y=2{x}^{2}-x-3}\end{array}\right.$，
化簡，得
2x²-（1+m）x-4=0．
解得x₁=e=$\frac{1+m-\sqrt{（1+m）^{2}+32}}{4}$，x₂=f=$\frac{1+m+\sqrt{（1+m）^{2}+32}}{4}$，
由e＜2＜f，得
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1+m-\sqrt{（1+m）^{2}+32}}{4}＜2}\\{\frac{1+m+\sqrt{（1+m）^{2}+32}}{4}＞2}\end{array}\right.$，
解得1＜m＜7．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）利用函數(shù)的增減性得出不等式的解集，（3）利用方程組的解得出不等式組是解題關(guān)鍵．