Question

5．已知，如圖，直線AB∥CD，直線EF⊥AB，點(diǎn)M在CD上，MP平分∠GMC，PN平分∠EGM，且∠CMG+∠MGF=90°．
（1）若∠MGN=75°，∠CMG=60°，求∠MPN的度數(shù)；
（2）若∠MGF=30°，∠CMG=60°，求∠MPN的度數(shù)；
（3）若點(diǎn)M在直線CD軸上移動(dòng)，∠MPN的大小是否發(fā)生變化？如果保持不變，請(qǐng)給出證明；如果發(fā)生變化，請(qǐng)求出變化范圍．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)∠CMG=60°，MP平分∠GMC，可得∠PMG=30°，然后根據(jù)∠MGN=75°，應(yīng)用三角形的外角的性質(zhì)，求出∠MPN的度數(shù)即可．
（2）首先根據(jù)∠MGF=30°，求出∠EGM=150°，再根據(jù)PN平分∠EGM，求出∠MGN的度數(shù)；然后根據(jù)∠CMG=60°，MP平分∠GMC，求出∠PMG的度數(shù)；最后應(yīng)用三角形的外角的性質(zhì)，求出∠MPN的度數(shù)即可．
（3）當(dāng)點(diǎn)M在直線CD上移動(dòng)時(shí)，∠MPN的大小不變，都是45°，理由如下：設(shè)∠MGF=x°，則∠CMG=90-x°，分別求出∠MGN、∠PMG的度數(shù)，然后根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，可得∠MGN=∠MPN+∠PMG，據(jù)此求出∠MPN的度數(shù)即可．

解答 解：（1）∵∠CMG=60°，MP平分∠GMC，
∴∠PMG=60°÷2=30°，
∵∠MGN=75°，∠MGN=∠MPN+∠PMG，
∴∠MPN=75°-30°=45°．

（2）∵∠MGF=30°，
∴∠EGM=180°-30°=150°，
∵PN平分∠EGM，
∴∠MGN=150°÷2=75°，
∵∠CMG=60°，MP平分∠GMC，
∴∠PMG=60°÷2=30°，
∵∠MGN=75°，∠MGN=∠MPN+∠PMG，
∴∠MPN=75°-30°=45°．

（3）當(dāng)點(diǎn)M在直線CD上移動(dòng)時(shí)，∠MPN的大小不變，都是45°，理由如下：
設(shè)∠MGF=x°，則∠CMG=90-x°，
∵∠MGF=x°，
∴∠EGM=180°-x°，
∵PN平分∠EGM，
∴∠MGN=（180°-x°）÷2=90°-0.5x°，
∵∠CMG=90°-x°，MP平分∠GMC，
∴∠PMG=（90°-x°）÷2=45°-0.5x°，
∵∠MGN=90°-0.5x°，∠MGN=∠MPN+∠PMG，
∴∠MPN=90°-0.5x°-（45°-0.5x°）=45°．

點(diǎn)評(píng) （1）此題主要考查了平行線的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡(jiǎn)單說成：兩直線平行，同位角相等．定理2：兩條平行線被地三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．簡(jiǎn)單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．③定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等．簡(jiǎn)單說成：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．
（2）此題還考查了三角形的外角的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握．