Question

13．已知，如圖，在y軸上有一點(diǎn)A（0，6），在x軸上有兩點(diǎn)B（6，0）、C（5，0）．
（1）求過A、B兩點(diǎn)一次函數(shù)的解析式，及過A、C兩點(diǎn)的一次函數(shù)的解析式；
（2）有一正比例函數(shù)y=kx（k＞0）與直線AB交于點(diǎn)E，與直線AC交于點(diǎn)F，若△AEF的面積是四邊形EFCB面積的一半，求正比例函數(shù)y=kx的解析式，并求E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)解析式，
（2）利用點(diǎn)坐標(biāo)先求出S_△ABC，再由△AEF的面積是四邊形EFCB面積的一半，得出S_{四邊形EBCF}的值，再求出點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)，運(yùn)用S_{四邊形EBCF}=S_△OBE-S_△OCF=2，即可求出k的值，再代入點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)求解即可．

解答 解：（1）∵A（0，6），B（6，0），
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，代入得$\left\{\begin{array}{l}{6=b}\\{0=6k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴AB的解析式為y=-x+6，
同理可得AC的一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=-$\frac{6}{5}$x+6．
（2）∵A（0，6），在x軸上有兩點(diǎn)B（6，0）、C（5，0）．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AO=$\frac{1}{2}$×1×6=3，
∵△AEF的面積是四邊形EFCB面積的一半，
∴S_{四邊形EBCF}=2，
∵正比例函數(shù)y=kx（k＞0）與直線AB交于點(diǎn)E，AB的解析式為y=-x+6，
∴組成方程組為$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=-x+6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{6}{k+1}}\\{y=\frac{6k}{k+1}}\end{array}\right.$
∴E（$\frac{6}{k+1}$，$\frac{6k}{k+1}$），
同理可得F（$\frac{30}{5k+6}$，$\frac{30k}{5k+6}$），
∵S_{四邊形EBCF}=S_△OBE-S_△OCF=2，
∴$\frac{1}{2}$×6×$\frac{6k}{k+1}$-$\frac{1}{2}$×5×$\frac{30k}{5k+6}$=2，化簡(jiǎn)得5²+11k-12=0，
解得k=-3或k=$\frac{4}{5}$，
∵k＞0，
∴k=$\frac{4}{5}$，
∴正比例函數(shù)的解析式為：y=$\frac{4}{5}$x，
∴E（$\frac{10}{3}$，$\frac{8}{3}$），F(xiàn)（3，$\frac{12}{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了一次函數(shù)的綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、求點(diǎn)的坐標(biāo)及三角形面積公式，解題的關(guān)鍵是靈活利用面積的關(guān)系式S_{四邊形EBCF}=S_△OBE-S_△OCF=2求解．