Question

14．在Rt△ACB和Rt△AEF中，∠ACB=∠AEF=90°，若點P是BF的中點，連接PC，PE．
特殊發(fā)現(xiàn)：
如圖1，若點E，F(xiàn)分別落在邊AB，AC上，則結(jié)論：PC=PE成立（不要求證明）．
問題探究：
把圖1中的△AEF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)．
（1）如圖2，若點E落在邊CA的延長線上，則上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；
（2）如圖3，若點F落在邊AB上，則上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；
（3）記$\frac{AC}{BC}$=k，當(dāng)k為何值時，△CPE總是等邊三角形？（請直接寫出k的值，不必說明理由）

Answer 1

分析 （1）首先過點P作PM⊥CE于點M，然后根據(jù)EF⊥AE，BC⊥AC，可得EF∥MP∥CB，推得$\frac{EM}{MC}=\frac{FP}{PB}$，再根據(jù)點P是BF的中點，可得EM=MC，據(jù)此推得PC=PE即可．
（2）首先過點F作FD⊥AC于點D，過點P作PM⊥AC于點M，連接PD，然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△DAF≌△EAF，即可判斷出AD=AE；再判斷出△DAP≌△EAP，即可判斷出PD=PE；最后根據(jù)FD⊥AC，BC⊥AC，PM⊥AC，可得FD∥BC∥PM，再根據(jù)點P是BF的中點，推得PC=PD，再根據(jù)PD=PE，即可推得PC=PE．
（3）首先根據(jù)△CPE總是等邊三角形，可得將△AEF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)180°，△CPE仍是等邊三角形；然后根據(jù)∠BCF=∠BEF=90°，點P是BF的中點，可得點C、E在以點P為圓心，BF為直徑的圓上；最后根據(jù)圓周角定理，求出∠CBE的度數(shù)，即可求出當(dāng)△CPE總是等邊三角形時，k的值是多少．

解答 解：（1）如圖2，過點P作PM⊥CE于點M，
，
PC=PE成立，理由如下：
∵EF⊥AE，BC⊥AC，
∴EF∥MP∥CB，
∴$\frac{EM}{MC}=\frac{FP}{PB}$，
∵點P是BF的中點，
∴EM=MC，
又∵PM⊥CE，
∴PC=PE．

（2）如圖3，過點F作FD⊥AC于點D，過點P作PM⊥AC于點M，連接PD，
，
PC=PE成立，理由如下：
∵∠DAF=∠EAF，∠FDA=∠FEA=90°，
在△DAF和△EAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠EAF}\\{∠FDA=∠FEA}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△DAF≌△EAF（AAS），
∴AD=AE，
在△DAP和△EAP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{∠DAP=∠EAP}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴△DAP≌△EAP（SAS），
∴PD=PE，
∵FD⊥AC，BC⊥AC，PM⊥AC，
∴FD∥BC∥PM，
∴$\frac{DM}{MC}=\frac{FP}{PB}$，
∵點P是BF的中點，
∴DM=MC，
又∵PM⊥AC，
∴PC=PD，
又∵PD=PE，
∴PC=PE．

（3）如圖4，，
∵△CPE總是等邊三角形，
∴將△AEF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)180°，△CPE仍是等邊三角形，
∵∠BCF=∠BEF=90°，點P是BF的中點，
∴點C、E在以點P為圓心，BF為直徑的圓上，
∵△CPE是等邊三角形，
∴∠CPE=60°，
根據(jù)圓周角定理，可得
∠CBE=$\frac{1}{2}$∠CPE=$\frac{1}{2}×$60°=30°，
即∠ABC=30°，
在Rt△ABC中，
∵$\frac{AC}{BC}$=k，$\frac{AC}{BC}$=tan30°，
∴k=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴當(dāng)k為$\frac{\sqrt{3}}{3}$時，△CPE總是等邊三角形．

點評 （1）此題主要考查了幾何變換綜合題，考查了分析推理能力，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，要熟練掌握．
（2）此題還考查了全等三角形判定和性質(zhì)的應(yīng)用，以及直角三角形的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握．
（3）解答第（3）題時，理解“△CPE總是等邊三角形”的含義是解答此題的關(guān)鍵所在．