Question

1．如圖1，在△ABC中，BC=4，以線段AB為邊作△ABD，使得AD=BD，連接DC，再以DC為邊作△CDE，使得DC=DE，∠CDE=∠ADB=α．
（1）如圖2，當(dāng)∠ABC=45°且α=90°時(shí)，用等式表示線段AD，DE之間的數(shù)量關(guān)系；
（2）將線段CB沿著射線CE的方向平移，得到線段EF，連接BF，AF．
①若α=90°，依題意補(bǔ)全圖3，求線段AF的長(zhǎng)；
②請(qǐng)直接寫出線段AF的長(zhǎng)（用含α的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出即可；
（2）①設(shè)DE與BC相交于點(diǎn)H，連接 AE，交BC于點(diǎn)G，根據(jù)SAS推出△ADE≌△BDC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AE=BC，∠AED=∠BCD．求出∠AFE=45°，解直角三角形求出即可；
②過(guò)E作EM⊥AF于M，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠AEM=∠FEM=$\frac{α}{2}$，AM=FM，解直角三角形求出FM即可．

解答 解：（1）AD+DE=4，
理由是：如圖1，

∵∠ADB=∠EDC=∠α=90°，AD=BD，DC=DE，
∴AD+DE=BC=4；
（2）①補(bǔ)全圖形，如圖2，

設(shè)DE與BC相交于點(diǎn)H，連接AE，
交BC于點(diǎn)G，
∵∠ADB=∠CDE=90°，
∴∠ADE=∠BDC，
在△ADE與△BDC中，
$\left\{\begin{array}{l}AD=BD\\∠ADE=∠BDC\\ DE=DC\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BDC，
∴AE=BC，∠AED=∠BCD．
∵DE與BC相交于點(diǎn)H，
∴∠GHE=∠DHC，
∴∠EGH=∠EDC=90°，
∵線段CB沿著射線CE的方向平移，得到線段EF，
∴EF=CB=4，EF∥CB，
∴AE=EF，
∵CB∥EF，
∴∠AEF=∠EGH=90°，
∵AE=EF，∠AEF=90°，
∴∠AFE=45°，
∴AF=$\frac{EF}{{cos{{45}°}}}$=4$\sqrt{2}$；

②如圖2，過(guò)E作EM⊥AF于M，
∵由①知：AE=EF=BC，
∴∠AEM=∠FEM=$\frac{α}{2}$，AM=FM，
∴AF=2FM=EF×sin$\frac{α}{2}$=8sin$\frac{α}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)的應(yīng)用，能正確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵，綜合性比較強(qiáng)，難度偏大．