Question

3．△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB=AC，點O到BC的距離為3，圓的半徑為5，則AB的長是2$\sqrt{5}$或4$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 分兩種情況考慮：當(dāng)三角形ABC為銳角三角形時，過A作AD垂直于BC，根據(jù)題意得到AD過圓心O，連接OB，在直角三角形OBD中，由OB與OD長，利用勾股定理求出BD的長，在直角三角形ABD中，利用勾股定理即可求出AB的長；當(dāng)三角形ABC為鈍角三角形時，同理求出AB的長，綜上即可得到所有滿足題意AB的長．

解答 解：分兩種情況考慮：
當(dāng)△ABC為銳角三角形時，如圖1所示，
過A作AD⊥BC，由題意得到AD過圓心O，連接OB，
∵OD=3，OB=5，
∴在Rt△OBD中，根據(jù)勾股定理得：BD=4，
在Rt△ABD中，AD=AO+OD=8，BD=4，
根據(jù)勾股定理得：AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=4$\sqrt{5}$；
當(dāng)△ABC為鈍角三角形時，如圖2所示，
過A作AD⊥BC，由題意得到AD延長線過圓心O，連接OB，
∵OD=3，OB=5，
∴在Rt△OBD中，根據(jù)勾股定理得：BD=4，
在Rt△ABD中，AD=AO-OD=2，BD=4，
根據(jù)勾股定理得：AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
綜上，AB=2$\sqrt{5}$或4$\sqrt{5}$．
故答案為：2$\sqrt{5}$或4$\sqrt{5}$．

點評 考查了垂徑定理、勾股定理的應(yīng)用，正確利用分類討論的思想，熟練掌握垂徑定理是解本題的關(guān)鍵．