Question

4．如圖，AB是圓O的直徑，弦CD⊥AB于點E，G是$\widehat{AC}$上任意一點，連結AD，GD，GC，延長AG、DC交于點F．
（1）求證：∠FGC=∠AGD；
（2）若AD=GD，求證：△FCG為等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的∠FGC=∠ADC，根據(jù)垂徑定理得出$\widehat{AC}$=$\widehat{AD}$，推出∠AGD=∠ADC即可；
（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的∠FGC=∠ADC，∠FCG=∠GAD，求出∠FCG=∠FGC，根據(jù)等腰三角形的判定推出即可．

解答 證明：（1）∵A、D、C、G四點共圓，
∴∠FGC=∠ADC，
∵AB為直徑，CD⊥AB，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{AD}$，
∴∠AGD=∠ADC，
∴∠FGC=∠AGD；

（2）∵A、D、C、G四點共圓，
∴∠FGC=∠ADC=∠AGD，∠FCG=∠GAD，
∵AD=GD，
∴∠GAD=∠DGA，
∴∠FCG=∠FGC，
∴FG=FC，
∴△FCG為等腰三角形．

點評 本題考查了垂徑定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定的應用，能綜合運用定理進行推理是解此題的關鍵．