Question

14．如圖，菱形ABCD的邊長為4，E、F分別是AB、CD中點(diǎn)，連接DE、EF、FB分別交AC于M、P、Q，且DE=4，求PQ的長．

Answer 1

分析 作DH⊥AB于H，CQ⊥AB于Q，如圖，根據(jù)菱形的性質(zhì)得AD=AB=CD=4，CD∥AB，則DF=BE=2，于是可判斷四邊形DEBF為平行四邊形，得到PM=PQ，DE∥BF，則ME為△ABQ的中位線，所以AM=MQ，同理可得CQ=MQ，于是得到PQ=$\frac{1}{6}$AC；由于AD=DE=4，DH⊥AE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得AH=HE=1，接著利用勾股定理可計(jì)算出DH=$\sqrt{15}$，再證明四邊形DHQC為矩形得CQ=DH=$\sqrt{15}$，HQ=CD=4，∠HQC=90°，然后在Rt△ACQ中利用勾股定理計(jì)算出AC=2$\sqrt{10}$，從而可得PQ=$\frac{\sqrt{10}}{3}$．

解答 解：作DH⊥AB于H，CQ⊥AB于Q，如圖，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AD=AB=CD=4，CD∥AB，
∵E、F分別是AB、CD中點(diǎn)，
∴DF=BE=2，
而DF∥BE，
∴四邊形DEBF為平行四邊形，
∴PM=PQ，DE∥BF，
∴ME為△ABQ的中位線，
∴AM=MQ，
同理可得CQ=MQ，
∴AM=MQ=CQ，
∴PQ=$\frac{1}{6}$AC，
∵AD=DE=4，DH⊥AE，
∴AH=HE=1，
∴DH=$\sqrt{A{D}^{2}-A{H}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{15}$，
∵CD∥HQ，DH∥CQ，
∴四邊形DHQC為平行四邊形，
而∠DHQ=90°，
∴四邊形DHQC為矩形，
∴CQ=DH=$\sqrt{15}$，HQ=CD=4，∠HQC=90°，
在Rt△ACQ中，AC=$\sqrt{C{Q}^{2}+A{Q}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{15}）^{2}+{5}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∴PQ=$\frac{1}{6}$×2$\sqrt{10}$=$\frac{\sqrt{10}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線．也考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)和勾股定理．