Question

5．如圖，已知△ABC，以BC為直徑，O為圓心的半圓交AC于點E，點E為弧CF的中點，連接BE交AC于點M，AD為△ABC的角平分線交BC于點D，且AD⊥BE，垂足為點H
（1）求證：AB是⊙O的切線；
（2）若AB=3，BC=4，求BE的長．

Answer 1

分析 （1）連接EC，AD為△ABC的角平分線，得∠1=∠2，又AD⊥BE，可證∠3=∠4，由對頂角相等得∠4=∠5，即∠3=∠5，由E為$\widehat{CF}$的中點，得∠6=∠7，由BC為直徑得∠E=90°，即∠5+∠6=90°，由AD∥CE可證∠2=∠6，從而有∠3+∠7=90°，得出即可；
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理可求AC=5，由∠3=∠4得AM=AB=3，則CM=AC-AM=2，證得△CME∽△BCE，利用相似比可得EB=2EC，進而根據(jù)勾股定理即可求得．

解答 （1）證明：連接EC，
∵AD⊥BE于H，∠1=∠2，
∴∠3=∠4
∵∠4=∠5，
∴∠4=∠5=∠3，
又∵E為$\widehat{CF}$的中點，
∴∠6=∠7，
∵BC是直徑，
∴∠E=90°，
∴∠5+∠6=90°，
又∵∠AHM=∠E=90°，
∴AD∥CE，
∴∠2=∠6=∠1，
∴∠3+∠7=90°，
又∵BC是直徑，
∴AB是半圓O的切線；

（2）解：∵AB=3，BC=4，
由（1）知，∠ABC=90°，
∴AC=5
在△ABM中，AD⊥BM于H，AD平分∠BAC，
∴AM=AB=3，
∴CM=2
∵∠6=∠7，∠E為公共角，
∴△CME∽△BCE，
得$\frac{EC}{EB}$=$\frac{MC}{BC}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴EB=2EC．
在RT△BCE中，根據(jù)勾股定理得，BE=$\frac{8}{5}$$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了切線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理等知識．關(guān)鍵是由已知條件推出相等角，構(gòu)造互余關(guān)系的角推出切線，利用相等角推出相似三角形，由相似比得出邊長的關(guān)系求解．