Question

11．如圖所示，在四邊形ABCD中．AB=AD，∠BAD=∠C=90°，BC=5，CD=3，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，請(qǐng)你利用旋轉(zhuǎn)變換求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CD交CD延長(zhǎng)線于F，可以證明△ABE≌△ADF，即可證明四邊形AECF是正方形，據(jù)此即可求解．

解答 解：過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CD交CD延長(zhǎng)線于F，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，∠C=90，
∴四邊形AECF是矩形．
∴∠EAF=90，∠AEB=∠AFC=90，
∴∠EAD+∠DAF=90．
∵∠BAD=90，
∴∠EAD+∠BAE=90，
∴∠DAF=∠BAE．
∴在△ABE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFC=∠AEB}\\{∠BAE=∠FAD}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF （AAS）．
∴AF=AE，BE=DF，
∴正方形AECF．
∴AE=CE=CF，
∴BE=BC-CE=BC-AE=5-AE，DF=CF-CD=AE-CD=AE-3，
∴5-AE=AE-3，
∴AE=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線，證明△ABE≌△ADF是解決本題的關(guān)鍵．