Question

14．如圖，對稱軸為直線x=2的拋物線y=x²+bx+c與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C，且點A的坐標為（-1，0），其頂點為D．
（1）求拋物線和直線BC的解析式；
（2）設(shè)點M（3，m），求當△DMC的周長最小時m的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對稱軸公式和將A的坐標代入列方程組求出b和c，寫出拋物線的解析式，再根據(jù)坐標特點求與x軸和與y軸坐標的交點，利用待定系數(shù)法求直線BC的解析式；
（2）先求點C關(guān)于直線x=3的對稱點C′的坐標，再求拋物線的頂點D的坐標，利用待定系數(shù)法求直線DC′的解析式，直線DC′與直線x=3的交點即是點M，這時△DMC的周長最小，因為直線x=3是CC′的垂直平分線，則CM=C′M，DM+CM=DM+MC′=DC′，所以此時DM+CM最小，即△DMC的周長最�。�

解答 解：（1）由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2}=2}\\{1-b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=-5}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為：y=x²-4x-5，
當x=0時，x²-4x-5=0，
（x+1）（x-5）=0，
x₁=-1，x₂=5，
∴A（-1，0），B（5，0），
當x=0時，y=-5，
∴C（0，-5），
設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，
把B（5，0）和C（0，-5）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{5k+b=0}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
直線BC的解析式為：y=x-5；
（2）點C（0，-5）關(guān)于直線x=3的對稱點C′（6，-5），
連接DC′，交直線x=3于點M，此時△DMC的周長最小，
y=x²-4x-5=（x-2）²-9，
∴頂點D（2，-9），
設(shè)直線DC′的解析式為：y=kx+b，
把D（2，-9）和C′（6，-5）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=-9}\\{6k+b=-5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-11}\end{array}\right.$，
∴直線DC′的解析式為：y=x-11，
當x=3時，y=3-11=-8，
∴m=-8．

點評 本題考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式，明確：①與x軸交點：把y=0代入，②與y軸交點，把x=0代入，③最短路徑問題：在直線L上的同側(cè)有兩個點A、B，在直線L上有到A、B的距離之和最短的點存在，可以通過軸對稱來確定，即作出其中一點關(guān)于直線L的對稱點，對稱點與另一點的連線與直線L的交點就是所要找的點．