Question

12．將兩塊全等的三角板如圖①擺放，其中∠A₁CB₁=∠ACB=90°，∠A₁=∠A=30°．
（1）將圖①中的△A₁B₁C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得圖②，點(diǎn)P₁是A₁C與AB的交點(diǎn)，點(diǎn)Q是A₁B₁與BC的交點(diǎn)，求證：CP₁=CQ；
（2）在圖②中，若AP₁=2，則CQ等于多少？

Answer 1

分析 （1）利用△A₁CB₁≌△ACB得到CA₁=CA，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠B₁CB=∠A₁CA=45°，則∠BCA₁=45°，于是根據(jù)“ASA”判斷△CQA₁≌△CP₁A，所以CP₁=CQ；
（2）過點(diǎn)P₁作P₁P⊥AC于點(diǎn)P，如圖②，先在Rt△AP₁P中根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到P₁P=$\frac{1}{2}$AP₁=$\frac{1}{2}$×2=1，然后在Rt△CP₁P中利用等腰直角三角形的性質(zhì)得CP=P₁P=1，CP₁=$\sqrt{2}$PP₁=$\sqrt{2}$，由（1）得CQ=CP₁=$\sqrt{2}$．

解答 （1）證明：∵△A₁CB₁≌△ACB，
∴CA₁=CA，
∵圖①中的△A₁B₁C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得圖②，
∴∠B₁CB=∠A₁CA=45°，
∴∠BCA₁=45°
在△CQA₁和△CP₁A中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠QC{A}_{1}=∠{P}_{1}CA}\\{C{A}_{1}=CA}\\{∠{A}_{1}=∠A}\end{array}\right.$，
∴△CQA₁≌△CP₁A，
∴CP₁=CQ；
（2）解：過點(diǎn)P₁作P₁P⊥AC于點(diǎn)P，如圖②，
在Rt△AP₁P中，∵∠A=30°，
∴P₁P=$\frac{1}{2}$AP₁=$\frac{1}{2}$×2=1，
在Rt△CP₁P中，∵∠P₁CP=45°，
∴CP=P₁P=1，
∴CP₁=$\sqrt{2}$PP₁=$\sqrt{2}$，
∴CQ=CP₁=$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．旋轉(zhuǎn)有三要素：旋轉(zhuǎn)中心； 旋轉(zhuǎn)方向； 旋轉(zhuǎn)角度．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)．