Question

2．如圖①，AB、CD是兩條射線，P為夾在這兩條射線之間的一點，連PA和PC，作∠PAB和∠PCD的平分線相交于點Q．

（1）旋轉(zhuǎn)射線AB，使AB∥CD，并調(diào)整點P的位置，使∠APC=180°，如圖②，請直接寫出∠Q的度數(shù)；
（2）當AB∥CD時，再調(diào)整點P的位置如圖③，猜想并證明∠Q與∠P有何等量關(guān)系；
（3）如圖④，若射線AB，CD交于一點R，其他條件不變，猜想∠P、∠Q和∠R這三個角之間滿足什么樣的等量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)求出∠PAQ+∠PCQ=90°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得出∠Q的度數(shù)；
（2）先延長AP交CD于點E，延長AQ交CD于點F，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠BAQ=∠CFQ，∠PEC=∠BAE，根據(jù)三角形的外角得出∠APC=∠PCE+∠PEC=∠PCE+∠BAE=2∠QCF+2∠BAE=2（∠QCF+∠BAE），最后根據(jù)∠AQC=∠QCF+∠BAE即可得出∠APC=2∠AQC．
（3）連接RQ，并延長RQ，連接RP并延長RP，利用三角形的外角得出∠AQC=∠ARC+∠QCR+∠QAR，從而得出2∠AQC=2∠ARC+2∠QCR+2∠QAR ①，根據(jù)∠APC=∠ARC+2∠QAR+2∠QCR ②，由①-②即可得出2∠AQC-∠APC=∠ARC．

解答 解：（1）∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∵AQ、CQ是∠PAB和∠PCD的平分線，
∴∠Q=90°；

（2）延長AP交CD于點E，延長AQ交CD于點F
∵AB∥CD，
∴∠BAQ=∠CFQ，∠PEC=∠BAE，
∴∠APC=∠PCE+∠PEC=∠PCE+∠BAE=2∠QCF+2∠BAE=2（∠QCF+∠BAE），
∵∠AQC=∠QCF+∠BAE，
∴∠APC=2∠AQC．

（3）連接RQ，并延長RQ，
連接RP并延長RP，
∵∠AQC=∠3+∠4，
∴∠AQC=∠QRC+∠QCR+∠QAR+∠QRA=∠ARC+∠QCR+∠QAR，
∴2∠AQC=2∠ARC+2∠QCR+2∠QAR ①，
∵∠APC=∠1+∠2，
∴∠APC=2∠QAR+∠ARP+2∠QCR+∠CRP=∠ARC+2∠QAR+2∠QCR ②，
∴①-②得，
2∠AQC-∠APC=∠ARC．

點評 此題考查了平行線的性質(zhì)，用到的知識點是平行線的性質(zhì)、三角形的外角、三角形的內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形作出輔助線．