Question

7．如圖，⊙O₁經(jīng)過(guò)⊙O的圓心，E、F是兩圓的交點(diǎn)，直線OO₁交⊙O于點(diǎn)Q、D，交⊙O₁于點(diǎn)P，交EF于點(diǎn)C，點(diǎn)A在劣弧QF上運(yùn)動(dòng)（與點(diǎn)Q、F不重合），連結(jié)PA交弧DF于B，連結(jié)BC并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)G，連結(jié)PG交⊙O于點(diǎn)H．求證：
（1）PE是⊙O的切線；
（2）PA=PG．

Answer 1

分析 （1）連接PE、OE，如圖1，要證PE是⊙O的切線，只需證∠OEP=90°，只需證OP是⊙O₁的直徑即可；
（2）連接PE、OE、OG、OA、OB，如圖2，要證PA=PG，只需證△OGP≌△OAP，只需證∠GOP=∠POA．易證△PCE∽△PEO，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得PE²=PC•PO，同理OE²=OC•OP．根據(jù)切割線定理可得PE²=PB•PA，則有PC•PO=PB•PA，由此可證到△BPC∽△OPA，則有∠PBC=∠POA．要證∠GOP=∠POA，只需證∠GOP=∠PBC，只需證∠OPB=∠OGB，由OG=OB可得∠OBC=∠OGB，只需證∠OBC=∠OPB，只需證△BOC∽△POB，只需證$\frac{OB}{OC}$=$\frac{OP}{OB}$，即證OB²=OC•OP，由于OB=OE，只需證OE²=OC•OP即可．

解答 證明：（1）連接PE、OE，如圖1，

∵OP是⊙O₁的直徑，∴∠OEP=90°，
∴PE是⊙O的切線；

（2）連接PE、OE、OG、OA、OB，如圖2，
∵OP⊥EF，∠OEP=90°，
∴∠OCE=∠ECP=∠OEP=90°．
∵∠EPC=∠OPE，
∴△PCE∽△PEO，
∴$\frac{PE}{PO}$=$\frac{PC}{PE}$，即PE²=PC•PO，
同理OE²=OC•OP．
∵PE是⊙O的切線，
∴根據(jù)切割線定理可得PE²=PB•PA，
∴PC•PO=PB•PA，
∴$\frac{PC}{PB}$=$\frac{PA}{PO}$
∵∠BPC=∠OPA，
∴△BPC∽△OPA，
∴∠PBC=∠POA．
∵OE²=OC•OP，OE=OB，
∴OB²=OC•OP，即$\frac{OB}{OC}$=$\frac{OP}{OB}$．
∵∠BOC=∠POB，
∴△BOC∽△POB，
∴∠OBC=∠OPB．
∵OG=OB，∴∠OBC=∠OGB，
∴∠OPB=∠OGB，
∴∠GOP=180°-∠OGB-OCG=180°-∠OPB-∠BCP=∠PBC，
∴∠GOP=∠PBC=∠POA．
在△OGP和△OAP中，
$\left\{\begin{array}{l}{OG=OA}\\{∠GOP=∠AOP}\\{OP=OP}\end{array}\right.$，
∴△OGP≌△OAP，
∴PG=PA．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了圓周角定理、切線的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、切割線定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是把證明∠GOP=∠POA轉(zhuǎn)化為證明∠GOP=∠PBC=∠POA，進(jìn)而把證明∠GOP=∠PBC轉(zhuǎn)化為證明∠BPC=∠OGC=∠OBC．