Question

16．如圖，直徑為13的⊙E，經(jīng)過原點(diǎn)O，并且與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，線段OA、OB（OA＞OB）的長分別是方程x²+kx+60=0的兩根．
（1）OA：OB=12：5；
（2）若點(diǎn)C在劣弧OA上，連結(jié)BC交OA于D，當(dāng)△BOC∽△BDA時，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（$\frac{10}{3}$，0）．

Answer 1

分析 （1）連接AB，如圖，易得AB是⊙E的直徑，根據(jù)勾股定理可得OA²+OB²=AB²=169，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系及完全平方公式就可求出k，然后解方程就可解決問題；
（2）過點(diǎn)D作DH⊥AB于H，如圖，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得∠OBC=∠DBA，從而可證得△BOD≌△BHD，則有BH=BO=5，DH=OD．設(shè)OD=x，則DH=x，DA=12-x，然后在Rt△DHA中運(yùn)用勾股定理就可解決問題．

解答 解：連接AB，
∵∠AOB=90°，
∴AB是⊙E的直徑，AB=13，
∴OA²+OB²=AB²=169．
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得：
OA+OB=-k＞0，OA•OB=60，
∴OA²+OB²=（OA+OB）²-2OA•OB=k²-120=169，
∴k=-17，
原方程為x²-17x+60=0，
解得x₁=5，x₂=12，
∴OA=12，OB=5，
∴OA：OB=12：5．
故答案為12：5；

（2）過點(diǎn)D作DH⊥AB于H，如圖．
∵△BOC∽△BDA，
∴∠OBC=∠DBA，
在△BOD和△BHD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OBD=∠HBD}\\{∠BOD=∠BHD}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴△BOD≌△BHD，
∴BH=BO=5，DH=OD．
設(shè)OD=x，則DH=x，DA=12-x．
在Rt△DHA中，根據(jù)勾股定理可得，
x²+（13-5）²=（12-x）²，
解得x=$\frac{10}{3}$，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（$\frac{10}{3}$，0）．
故答案為（$\frac{10}{3}$，0）．

點(diǎn)評 本題主要考查了圓周角定理、相似三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、解方程等知識，根據(jù)角平分線的性質(zhì)添加輔助線，是解決本題的關(guān)鍵．