Question

13．在⊙O中，AB為直徑，C為⊙O上一點．
（Ⅰ）如圖①，過點C作⊙O的切線，與AB的延長線相交于點P，若∠CAB=32°，求∠P的大�。�
（Ⅱ）如圖②，D為優(yōu)弧ADC上一點，且DO的延長線經過AC的中點E，連接DC與AB相交于點P，若∠CAB=16°，求∠DPA的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接OC，如圖①，根據(jù)切線的性質得∠OCP=90°，再根據(jù)等腰三角形的性質得到∠OCA=∠CAB=32°，則利用三角形外角性質可計算出∠POC，然后利用互余計算∠P的度數(shù)；
（Ⅱ）如圖②，根據(jù)垂徑定理的推論，由點E為AC的中點得到OD⊥AC，則利用三角形外角性質得∠AOD=∠CAB+∠OEA=106°，再根據(jù)圓周角定理得到∠C=$\frac{1}{2}$∠AOD=53°，然后利用三角形外角性質可計算出∠DPA的度數(shù)．

解答 解：（Ⅰ）連接OC，如圖①，
∵PC為切線，
∴OC⊥PC，
∴∠OCP=90°，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠CAB=32°，
∴∠POC=∠OCA+∠CAB=64°，
∴∠P=90°-∠POC=90°-64°=26°；

（Ⅱ）如圖②，
∵點E為AC的中點，
∴OD⊥AC，
∴∠OEA=90°，
∴∠AOD=∠CAB+∠OEA=16°+90°=106°，
∴∠C=$\frac{1}{2}$∠AOD=53°，
∴∠DPA=∠BAC+∠C=16°+53°=69°．

點評 本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構造定理圖，得出垂直關系．也考查了垂徑定理和圓周角定理．