Question

3．如圖，△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，點(diǎn)E、F在AC上，∠EBF=45°，若AE=1，CF=2，則AB的長(zhǎng)為$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2}$．

Answer 1

分析 將△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBH．連接FH．只要證明△FBH≌△FBE，再證明∠FCH=90°，求出FH即可解決問題．

解答 解：將△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBH．連接FH．

∵∠EBF=45°，∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBF=45°，
∵∠ABE=∠CBH，
∴∠CBH+∠CBF=45°，
∴∠FBH=∠FBE=45°，
在△FBH和△FBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{FB=FB}\\{∠FBH=∠FBE}\\{BH=BE}\end{array}\right.$，
∴△FBH≌△FBE，
∴FH=EF，
∵∠BCF=∠BCH=45°，
∴∠FCH=90°，
∴EF=FH=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴AC=3+$\sqrt{5}$，
∴AB=AC•cos45°=$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2}$，
故答案為$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形內(nèi)角和定理，等腰直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，能正確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．