Question

5．如圖，已知拋物線經(jīng)過A（-2，0）B（-3，3）及原點(diǎn)O，頂點(diǎn)為C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上，且A、O、D、E為頂點(diǎn)是四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（3）P是拋物線上的第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點(diǎn)P，使得以P、M、A為頂點(diǎn)的三角形△BOC相似？

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），把點(diǎn)A（-2，0），B（-3，3），O（0，0），代入求出a，b，c的值即可；
（2）首先由A的坐標(biāo)可求出OA的長(zhǎng)，再根據(jù)四邊形AODE是平行四邊形，D在對(duì)稱軸直線x=-1右側(cè)，進(jìn)而可求出D橫坐標(biāo)為：-1+2=1，代入拋物線解析式即可求出其橫坐標(biāo)；根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分，可得答案；
（3）分△PMA∽△COB和△PMA∽△BOC表示出PM和AM，從而表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入求得的拋物線的解析式即可求得t的值，從而確定點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），
將點(diǎn)A（-2，0），B（-3，3），O（0，0），代入可得：
$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+c=0}\\{9a-3b+c=3}\\{c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\\{c=0}\end{array}\right.$，
所以函數(shù)解析式為：y=x²+2x；
（2）①以AE為邊時(shí)，∵A，O，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
∴DE=AO=2，D在x軸向方不可能，
∴D在x軸上方，且DE=2，當(dāng)D點(diǎn)在對(duì)稱軸直線x=-1的右側(cè)時(shí)，D的坐標(biāo)為（1，3）；
當(dāng)D點(diǎn)在對(duì)稱軸直線x=-1的左側(cè)時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性可知點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-3，3），
②以AO為對(duì)角線時(shí)，則DE與AO互相平分，
∵點(diǎn)E在對(duì)稱軸上，且線段AO的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為-1，
由對(duì)稱性可知，符合條件的點(diǎn)D只有一個(gè)，與點(diǎn)C重合，即C（-1，-1），
綜上點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，3）或（-3，3）（-1，-1）；
（3）假設(shè)存在點(diǎn)P，使以P，M，A為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似，如圖，
設(shè)P（x，y），由題意知x＞0，y＞0，且y=x²+2x，
由題意，△BOC為直角三角形，∠COB=90°，且OC：OB=1：3，
①若△PMA∽△COB，則$\frac{AM}{BO}$=$\frac{PM}{CO}$，
即x+2=3（x²+2x），得
x₁=$\frac{1}{3}$，x₂=-2（舍去），當(dāng)x=$\frac{1}{3}$時(shí)，y=$\frac{7}{9}$，即P（$\frac{1}{3}$，$\frac{7}{9}$）；
②若△PMA∽△BOC，$\frac{AM}{OC}$=$\frac{PM}{BO}$，
即：x²+2x=3（x+2），
得：x₁=3，x₂=-2（舍去）當(dāng)x=3時(shí)，y=15，即P（3，15）．
故符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，分別（$\frac{1}{3}$，$\frac{7}{9}$）或（3，15）．

點(diǎn)評(píng) 本題著重考查了二次函數(shù)綜合題，利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，同時(shí)也考查了學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．