Question

7．近幾年，全社會(huì)對(duì)空氣污染問(wèn)題越來(lái)越重視，空氣凈化器的銷(xiāo)量也在逐年增加．某商場(chǎng)從廠家購(gòu)進(jìn)了A、B兩種型號(hào)的空氣凈化器，兩種凈化器的銷(xiāo)售相關(guān)信息見(jiàn)下表：

A型銷(xiāo)售數(shù)量（臺(tái)）	B型銷(xiāo)售數(shù)量（臺(tái)）	總利潤(rùn)（元）
5	10	2000
10	5	2500

（1）每臺(tái)A型空氣凈化器和B型空氣凈化器的銷(xiāo)售利潤(rùn)分別是多少？
（2）該公司計(jì)劃一次購(gòu)進(jìn)兩種型號(hào)的空氣凈化器共100臺(tái)，其中B型空氣凈化器的進(jìn)貨量不少于A型空氣凈化器的2倍，為使該公司銷(xiāo)售完這100臺(tái)空氣凈化器后的總利潤(rùn)最大，請(qǐng)你設(shè)計(jì)相應(yīng)的進(jìn)貨方案；
（3）已知A型空氣凈化器的凈化能力為300m³/小時(shí)，B型空氣凈化器的凈化能力為200m³/小時(shí)，某長(zhǎng)方體室內(nèi)活動(dòng)場(chǎng)地的總面積為200m²，室內(nèi)墻高3m，該場(chǎng)地負(fù)責(zé)人計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)5臺(tái)空氣凈化器每天花費(fèi)30分鐘將室內(nèi)就歐諾個(gè)氣凈化一新，若不考慮空氣對(duì)流等因素，至少要購(gòu)買(mǎi)A型空氣凈化器多少臺(tái)？

Answer 1

分析 （1）設(shè)每臺(tái)A型空氣凈化器的銷(xiāo)售利潤(rùn)為x元，每臺(tái)B型空氣凈化器的銷(xiāo)售利潤(rùn)為y元，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)A型空氣凈化器m臺(tái)，則購(gòu)進(jìn)B型空氣凈化器（100-m）臺(tái)，根據(jù)B型空氣凈化器的進(jìn)貨量不少于A型空氣凈化器的2倍，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍，設(shè)銷(xiāo)售完這100臺(tái)空氣凈化器后的總利潤(rùn)為w元，根據(jù)總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×購(gòu)進(jìn)數(shù)量，即可得出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問(wèn)題；
（3）設(shè)應(yīng)購(gòu)買(mǎi)A型空氣凈化器a臺(tái)，則購(gòu)買(mǎi)B型空氣凈化器（5-a）臺(tái)，根據(jù)兩種空氣凈化器的凈化能力結(jié)合活動(dòng)場(chǎng)地的體積，即可得出關(guān)于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范圍，取其內(nèi)的最小正整數(shù)即可．

解答 解：（1）設(shè)每臺(tái)A型空氣凈化器的銷(xiāo)售利潤(rùn)為x元，每臺(tái)B型空氣凈化器的銷(xiāo)售利潤(rùn)為y元，
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{5x+10y=2000}\\{10x+5y=2500}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=200}\\{y=100}\end{array}\right.$．
答：每臺(tái)A型空氣凈化器的銷(xiāo)售利潤(rùn)為200元，每臺(tái)B型空氣凈化器的銷(xiāo)售利潤(rùn)為100元．

（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)A型空氣凈化器m臺(tái)，則購(gòu)進(jìn)B型空氣凈化器（100-m）臺(tái)，
∵B型空氣凈化器的進(jìn)貨量不少于A型空氣凈化器的2倍，
∴100-m≥2m，
解得：m≤$\frac{100}{3}$．
設(shè)銷(xiāo)售完這100臺(tái)空氣凈化器后的總利潤(rùn)為w元，
根據(jù)題意得：w=200m+100（100-m）=100m+10000，
∴w的值隨著m的增大而增大，
∴當(dāng)m=33時(shí)，w取最大值，最大值=100×33+10000=13300，此時(shí)100-m=67．
答：為使該公司銷(xiāo)售完這100臺(tái)空氣凈化器后的總利潤(rùn)最大，應(yīng)購(gòu)進(jìn)A型空氣凈化器33臺(tái)，購(gòu)進(jìn)B型空氣凈化器67臺(tái)．

（3）設(shè)應(yīng)購(gòu)買(mǎi)A型空氣凈化器a臺(tái)，則購(gòu)買(mǎi)B型空氣凈化器（5-a）臺(tái)，
根據(jù)題意得：$\frac{1}{2}$[300a+200（5-a）]≥200×3，
解得：a≥2．
答：至少要購(gòu)買(mǎi)A型空氣凈化器2臺(tái)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，列出二元一次方程組；（2）根據(jù)總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×購(gòu)進(jìn)數(shù)量，找出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式；（3）根據(jù)兩種空氣凈化器的凈化能力結(jié)合活動(dòng)場(chǎng)地的體積，列出關(guān)于a的一元一次不等式．