Question

17．已知：線段AB⊥BM，垂足為B，點O和點A在直線BM的同側(cè)，且tan∠OBM=2，AB=5，設(shè)以O(shè)為圓心，BO為半徑的圓O與直線BM的另一個交點為C，直線AO與直線BM的交點為D，圓O為直線AD的交點為E．
（1）如圖1，當點D在BC的延長線上時，設(shè)BC=x，CD=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域．
（2）在（1）的條件下，當BC=CE時，求BC的長；
（3）當△ABO是以AO為腰的等腰三角形時，求∠ADB的正切值．

Answer 1

分析 （1）過O作OF⊥BD于F，如圖1，利用垂徑定理得到BF=CF=$\frac{BC}{2}$=$\frac{x}{2}$，再利用正切的定義得到OF=x，然后證明△OFD∽△ABD，于是利用相似比可得到y(tǒng)與x的關(guān)系式；
（2）先利用勾股定理計算出OB=$\frac{\sqrt{5}}{2}$x，再證明△DEC∽△DCO，利用相似比可得到OD=$\frac{\sqrt{5}}{2}$y，則根據(jù)勾股定理得到x²+（y+$\frac{1}{2}$x）²=（$\frac{\sqrt{5}}{2}$y）²，所以y=5x或y=-x（舍去），則$\frac{2{x}^{2}-5x}{10-2x}$=5x，然后解方程求出x即可；
（3）討論：當OA=OB時，點A在⊙O上，如圖2，根據(jù)圓周角定理得到AC為直徑，即點D與點C重合，易得x=$\frac{5}{2}$，于是得到此時tan∠ADB=2；當AO=AB=5，如圖3，作OH⊥AB于H，易得四邊形OFBH為矩形，則OH=BF=$\frac{1}{2}$x，BH=OF=x，利用勾股定理得到（x-5）²+（$\frac{1}{2}$x）²=5²，然后解方程求出x，則可得到tan∠AOH=$\frac{3}{4}$，再證明∠ADB=∠AOH，從而得到tan∠ADB的值．

解答 解：（1）過O作OF⊥BD于F，如圖1，則BF=CF=$\frac{BC}{2}$=$\frac{x}{2}$，
∴DF=y+$\frac{x}{2}$，
在Rt△BFO中，∵tan∠OBM=$\frac{OF}{BF}$=2，
∴OF=x，
∵AB⊥BM，
∴OF∥AB，
∴△OFD∽△ABD，
∴$\frac{OF}{AB}$=$\frac{DF}{DB}$，即$\frac{x}{5}$=$\frac{y+\frac{x}{2}}{x+y}$，
∴y=$\frac{2{x}^{2}-5x}{10-2x}$（$\frac{5}{2}$＜x＜5）；

（2）在Rt△OBF中，OB=$\sqrt{{x}^{2}+（\frac{1}{2}x）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$x，
∵BC=CE，
而OB=OC=OE，
∴△OBC和△OCD為全等的等腰三角形，
∴∠OCB=∠OEC，
∴∠OCD=∠CED，
而∠CDE=∠ODC，
∴△DEC∽△DCO，
∴$\frac{CE}{OC}$=$\frac{CD}{OD}$，即$\frac{x}{\frac{\sqrt{5}x}{2}}$=$\frac{y}{OD}$，
∴OD=$\frac{\sqrt{5}}{2}$y，
在Rt△OFD中，∵OF²+FD²=OD²，
∴x²+（y+$\frac{1}{2}$x）²=（$\frac{\sqrt{5}}{2}$y）²，
整理得y²-4xy-5x²=0，
∴y=5x或y=-x（舍去），
∴$\frac{2{x}^{2}-5x}{10-2x}$=5x，解得x₁=0（舍去），x₂=$\frac{55}{12}$，
即BC的長為$\frac{55}{12}$；

（3）當OA=OB時，點A在⊙O上，如圖2，則AC為直徑，點D與點C重合，OF=$\frac{1}{2}$AB，即x=$\frac{5}{2}$，
∴tan∠ADB=$\frac{5}{\frac{5}{2}}$=2；
當AO=AB=5，如圖3，作OH⊥AB于H，易得四邊形OFBH為矩形，
∴OH=BF=$\frac{1}{2}$x，BH=OF=x，
在Rt△OHA中，∵AH²+OH²=OA²，
∴（x-5）²+（$\frac{1}{2}$x）²=5²，
解得x₁=0（舍去），x₂=8，
∴tan∠AOH=$\frac{AH}{OH}$=$\frac{8-5}{4}$=$\frac{3}{4}$，
∵OH∥BD，
∴∠ADB=∠AOH，
∴tan∠ADB=$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理、圓周角定理和等腰三角形的性質(zhì)；會應(yīng)用銳角三角函數(shù)和相似三角形的判定進行幾何計算；學(xué)會運用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題；根據(jù)題意畫出相應(yīng)的幾何圖形是解決問題的關(guān)鍵．