Question

11．如圖：已知△ABC中，∠ABC的n等分線與∠ACB的n等分線分別相交于G₁，G₂，G₃，…，G_n-1，試猜想：∠BG_n-1C與∠A的關(guān)系．（其中n是不小于2的整數(shù)）
首先得到：當(dāng)n=2時(shí)，如圖1，∠BG₁C=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
當(dāng)n=3時(shí)，如圖2，∠BG₂C=60°+$\frac{2}{3}$∠A，…
如圖3，猜想∠BG_n-1C=$\frac{180°}{n}$+$\frac{n-1}{n}$∠A．…

Answer 1

分析 當(dāng)n=2時(shí)，用∠A表示出∠G₁BC+∠G₁CB的度數(shù)，再由三角形內(nèi)角和定理即可得出∠BG₁C的度數(shù)；當(dāng)n=3時(shí)，用∠A表示出∠G₂BC+∠G₂CB的度數(shù)，再由三角形內(nèi)角和定理即可得出∠BG₂C的度數(shù)，根據(jù)n=2與n=3的結(jié)論可得出猜想．

解答 解：∵當(dāng)n=2時(shí)，∠G₁BC+∠G₁CB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$（180°-∠A），
∴∠BG₁C=180°-（∠G₁BC+∠G₁CB）=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°+$\frac{1}{2}$∠A；
∵當(dāng)n=3時(shí)，∠G₂BC+∠G₂CB=$\frac{2}{3}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{2}{3}$（180°-∠A），
∴∠BG₂C=180°-$\frac{2}{3}$（∠ABC+∠ACB）=180°-$\frac{2}{3}$（180°-∠A）=60°+$\frac{2}{3}$∠A．
由n=2，n=3可知，∠BG_n-1C=$\frac{180°}{n}$+$\frac{n-1}{n}$∠A．
故答案為：90°+$\frac{1}{2}$∠A，60°+$\frac{2}{3}$∠A，$\frac{180°}{n}$+$\frac{n-1}{n}$∠A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形內(nèi)角和是180°是解答此題的關(guān)鍵．