Question

18．如圖，矩形ABCD中，點P是線段AD上的一個動點，O為BD的中點，PO的延長線交BC于Q．
（1）求證：OP=OQ；
（2）若AD=8cm，AB=6cm，點P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度向點D運動（不與D重合）．設(shè)點P運動的時間為t秒，請用t表示PD的長；
（3）當t為何值時，四邊形PBQD是菱形？

Answer 1

分析 （1）由矩形ABCD中，O為BD的中點，易證得△PDO≌△QBO（ASA），繼而證得OP=OQ；
（2）AD=8cm，AP=tcm，即可用t表示PD的長；
（3）由四邊形PBQD是菱形，可得PB=PD，即可得AB²+AP²=PD²，繼而可得方程6²+t²=（8-t）²，解此方程即可求得答案．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠PDO=∠QBO，
∵O為BD的中點，
∴DO=BO，
在△PDO和△QBO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PDO=∠QBO}\\{DO=BO}\\{∠POD=∠QOB}\end{array}\right.$，
∴△PDO≌△QBO（ASA），
∴OP=OQ；

（2）由題意知：AD=8cm，AP=tcm，
∴PD=8-t，

（3）∵PB=PD，
∴PB²=PD²，
即AB²+AP²=PD²，
∴6²+t²=（8-t）²，
解得 t=$\frac{7}{4}$，
∴當t=$\frac{7}{4}$時，PB=PD．

點評 此題考查了菱形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)．注意利用AB²+AP²=PD²，得方程6²+t²=（8-t）²是解此題的關(guān)鍵．