Question

20．已知，如圖，△ABC的三條邊BC=a，CA=b，AB=c，D為△ABC內一點，且∠ADB=∠BDC=∠CDA=120°，DA=u，DB=v，DC=w．
（1）若∠CBD=18°，則∠BCD=42°；
（2）將△ACD繞點A順時針方向旋轉90°到△AC'D'，畫出△AC'D'，若∠CAD=20°，求∠CAD'度數(shù)；
（3）試畫出符合下列條件的正三角形：M為正三角形內的一點，M到正三角形三個頂點的距離分別為a、b、c，且正三角形的邊長為u+v+w，并給予證明．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的內角和即可得出結論；
（2）根據(jù)旋轉的性質即可畫出圖形，利用旋轉角即可得出結論；
（3）先構造等邊三角形BDE，BCF，再判斷出A、D、E、F四點均在一條直線上，另為判斷出△AFC≌△GFB（SAS），即可得出結論．

解答 解：（1）在△BCD中，∠BDC=120°，∠CBD=18°，
根據(jù)三角形的內角和得，∠BCD=180°-∠BDC-∠CBD=42°，
故答案為42，

（2）畫圖如圖1所示，
由旋轉知∠DAD'=90°，
∵∠CAD=20°，
∴∠CAD'=∠DAD'-∠CAD=90°-20°=70°；

（3）畫圖如圖2，
將△BDC繞點B按逆時針方向旋轉60°，
到△BEF的位置．
連結DE，CF，
由旋轉可知，△BDE和△BCF均為等邊三角形，
∴DE=v，CF=a．
∵∠ADB=120°，∠BDE=60°，
即∠ADE=180°，
則A、D、E三點共線（即該三點在同一條直線上）．
同理，∵∠BEF=∠BDC=120°，∠BED=60°，
即∠DEF=180°，則D、E、F三點共線，
∴A、D、E、F四點均在一條直線上．
∵EF=DC=w，
∴線段AF=u+v+w．
以線段AF為邊在點B一側作等邊△AFG，
則△AFG即為符合條件的等邊三角形，其中的點B即為點M．
正三角形的邊長為u+v+w已證，BA=c，BF=BC=a，
下面再證BG=b．
∵∠CFB=∠AFG=60°，
即∠1+∠EFB=∠2+∠EFB=60°，
∴∠1=∠2．
在△AFC和△GFB中，
∵FA=FG，∠1=∠2，F(xiàn)C=FB，
∴△AFC≌△GFB（SAS），
∴AC=GB，即BG=CA=b．
從而點B（M）到等邊△AFG三個頂點的距離分別為a、b、c，
且其邊長為u+v+w．

點評 此題是幾何變換綜合題，主要考查了三角形的內角和，旋轉的性質，等邊三角形的性質和判定，全等三角形的判定和性質，解本題的關鍵是構造出等邊三角形．