Question

12．如圖，在⊙O中，AB為直徑，OC⊥AB，弦CD與OB交于點(diǎn)F，在AB的延長(zhǎng)線上有一點(diǎn)E，且EF=ED．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若OF：OB=1：3，⊙O的半徑R=3，求BE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OD，如圖，由EF=ED得到∠EFD=∠EDF，再利用對(duì)頂角相等得∠EFD=∠CFO，則∠CFO=∠EDF，由于∠OCF+∠CFO=90°，∠OCF=∠ODF，則∠ODC+∠EDF=90°，于是根據(jù)切線的判定定理可得DE是⊙O的切線；
（2）由OF：OB=1：3得到OF=1，BF=2，設(shè)BE=x，則DE=EF=x+2，根據(jù)圓周角定理，由AB為直徑得到∠ADB=90°，接著證明△EBD∽△EDA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：連結(jié)OD，如圖，
∵EF=ED，
∴∠EFD=∠EDF，
∵∠EFD=∠CFO，
∴∠CFO=∠EDF，
∵OC⊥OF，
∴∠OCF+∠CFO=90°，
而OC=OD，
∴∠OCF=∠ODF，
∴∠ODC+∠EDF=90°，即∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切線；

（2）解：∵OF：OB=1：3，
∴OF=1，BF=2，
設(shè)BE=x，則DE=EF=x+2，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADO=∠BDE，
而∠ADO=∠A，
∴∠BDE=∠A，
而∠BED=∠DAE，
∴△EBD∽△EDA，
∴$\frac{DE}{AE}$=$\frac{BE}{DE}$，即$\frac{x+2}{6+2}$=$\frac{x}{x+2}$，
∴x=2，
∴BE=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．