Question

9．有兩張完全重合的矩形紙片，將其中一張繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到矩形AMEF（如圖1），連接BD、MF，并測(cè)得∠ADB=30°．
（1）試探究線段BD與線段MF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）將△BCD與△MEF剪去繼續(xù)探究，將△ABD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△AB₁D₁，AD₁交FM于點(diǎn)K（如圖2），設(shè)旋轉(zhuǎn)角為β（0°＜β＜90°），當(dāng)△AFK為等腰三角形時(shí)；
①請(qǐng)直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)角β的度數(shù)；
②若測(cè)得AB=10cm，求出此時(shí)△AFK的面積．

Answer 1

分析 （1）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以證明△BAD≌△MAF，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可以推知線段BD與MF的數(shù)量關(guān)系BD=MF．②BD=MF，∠ADB=∠AFM=30°，進(jìn)而可得∠DNM的大�。�
（2）由條件可知∠AFK=30°，當(dāng)∠AFK為頂角時(shí)，可以求出∠KAF=75°，從而求出旋轉(zhuǎn)角β的度數(shù)，當(dāng)∠AFK為底角時(shí)，可以求出∠KAF=30°，從而求出旋轉(zhuǎn)角β的度數(shù)

解答 解：（1）BD=MF，且BD⊥MF．理由如下：
如圖1，延長(zhǎng)FM交BD于點(diǎn)N，
由題意得：△BAD≌△MAF．
∴BD=MF，∠ADB=∠AFM．
又∵∠DMN=∠AMF，
∴∠ADB+∠DMN=∠AFM+∠AMF=90°，
∴∠DNM=90°，
∴BD⊥MF．
（2）①如圖2，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，∠AFK=∠ADB=30°．
當(dāng)AK=FK時(shí)，∠KAF=∠AFK=30°，
則∠BAB₁=180°-∠B₁AD₁-∠KAF=180°-90°-30°=60°，
即β=60°；
當(dāng)AF=FK時(shí)，∠FAK=$\frac{180°-∠AFK}{2}$=75°，
∴∠BAB₁=90°-∠FAK=15°，
即β=15°．
綜上所述，β=15°或β=60°時(shí)，△AKF為等腰三角形．
②如圖3所示：過(guò)點(diǎn)K作KN⊥AF，垂足為N．

當(dāng)FK=AF=10時(shí)，KN=$\frac{1}{2}FK=5$，
∴△AKF的面積=$\frac{1}{2}AF•KN$=$\frac{1}{2}×10×5$=25cm²．
當(dāng)AK=KF時(shí)，由KA=KF，KN⊥AF得：NF=$\frac{1}{2}AF=5$．
∴KN=5×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$．
∴△AKF的面積=$\frac{1}{2}×AF•KN$=$\frac{1}{2}×10×\frac{5\sqrt{3}}{3}$=$\frac{25\sqrt{3}}{3}$cm²．
綜上所述，△AKF的面積為25cm²或$\frac{25\sqrt{3}}{3}$cm²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變化前后，對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變．注意（2）中需分情況討論△AFK為等腰三角形時(shí)的不同分類(lèi)，不要漏解．