Question

14．如圖，矩形ABCD，AB=5，AD=8，E是AD上一動(dòng)點(diǎn)，把△ABE沿BE折疊，當(dāng)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′落在矩形ABCD的對(duì)稱軸上時(shí)，折痕BE的長(zhǎng)為$\frac{5\sqrt{5}}{2}$和$\frac{10\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 過A′作MN∥CD交AD于M，交BC于N，則直線MN是矩形ABCD 的對(duì)稱軸，于是得到AM=BN=$\frac{1}{2}$AD=4，根據(jù)勾股定理得到A′N=$\sqrt{A′{B}^{2}-B{N}^{2}}$=3，于是求得A′M=2，再由勾股定理解得A′E=$\frac{5}{2}$，結(jié)論即可求出．

解答 解：如圖1，過A′作MN∥CD交AD于M，交BC于N，
則直線MN是矩形ABCD 的對(duì)稱軸，
∴AM=BN=$\frac{1}{2}$AD=4，
∵△ABE沿BE折疊得到△A′BE，
∴A′E=AE，A′B=AB=5，
∴A′N=$\sqrt{A′{B}^{2}-B{N}^{2}}$=3，
∴A′M=2，
∴A′E²=EM²+A′M²，
∴A′E²=（4-A′E）²+2²，
解得：A′E=$\frac{5}{2}$，
∴AE=$\frac{5}{2}$，
在R_t△ABE中，BE=$\sqrt{A{B}^{2}+A{E}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$，
如圖2，過A′作PQ∥AD交AB于P，交CD于Q，
則直線PQ是矩形ABCD 的對(duì)稱軸，
∴PQ⊥AB，AP=PB，AD∥PQ∥BC，
∴A′B=2PB，
∴∠PA′B=30°，
∴∠A′BC=30°，
∴∠EBA′=30°，
∴BE=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$；
故答案為：$\frac{5\sqrt{5}}{2}$和$\frac{10\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了翻折變換-折疊問題，矩形的性質(zhì)，勾股定理，正確理解折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．