Question

18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（-$\sqrt{3}$，0），點A關(guān)于原點的對稱點為B
（1）填空：點B的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$，0）．
（2）若以AB為一邊向上作一個等邊三角形ABC，求點C的坐標(biāo)．
（3）在（2）的條件下，點C關(guān)于x軸的對稱點為D．
①四邊形ACBD為菱形．
②求四邊形ACBD的周長與面積．

Answer 1

分析 （1）由關(guān)于原點的對稱的點的坐標(biāo)特征，即可得出點B的坐標(biāo)；
（2）由等邊三角形的性質(zhì)得出BC=AB=2OB=2$\sqrt{3}$，∠OBC=60°，由三角函數(shù)求出OC，即可得出點C的坐標(biāo)；
（3）①由關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)特征得出點D的坐標(biāo)，OC=OD，得出CD=2OC=6，得出四邊形ACBD是平行四邊形，由對角線互相垂直即可得出四邊形ACBD是菱形；
②菱形ACBD的周長=4BC，菱形ACBD的面積=$\frac{1}{2}$AB×CD，即可得出結(jié)果．

解答 解：（1）∵點A的坐標(biāo)為（-$\sqrt{3}$，0），點A關(guān)于原點的對稱點為B，
∴點B的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$，0），OB=OA；
故答案為：$\sqrt{3}$，0；
（2）如圖所示：
∵△ABC是等邊三角形，
∴BC=AB=2OB=2$\sqrt{3}$，∠OBC=60°，
∴OC=OB•tan∠OBC=$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$=3，
∴點C的坐標(biāo)為（0，3）；
（3）①∵點C關(guān)于x軸的對稱點為D，
∴點D的坐標(biāo)為（0，-3），
∴OC=OD，
∴CD=2OC=6，
∵OB=OA，
∴四邊形ACBD是平行四邊形，
又∵AB⊥CD，
∴四邊形ACBD是菱形；
故答案為：菱；
②菱形ACBD的周長=4BC=8$\sqrt{3}$，
菱形ACBD的面積=$\frac{1}{2}$AB×CD=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×6=6$\sqrt{3}$．

點評 本題是四邊形綜合題目，考查了關(guān)于原點和關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)特征、等邊三角形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)、菱形周長和面積的計算方法；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，熟練掌握關(guān)于原點和關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)特征是解決問題的關(guān)鍵．