Question

20．【問題情境】：
如圖1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度數(shù)．

小明的思路是：過P作PE∥AB，通過平行線性質來求∠APC．
（1）按小明的思路，求∠APC的度數(shù)；
【問題遷移】：
如圖2，AB∥CD，點P在射線OM上運動，記∠PAB=α，∠PCD=β，當點P在B、D兩點之間運動時，問∠APC與α、β之間有何數(shù)量關系？請說明理由；
【問題應用】：
（3）在（2）的條件下，如果點P在B、D兩點外側運動時（點P與點O、B、D三點不重合），請直接寫出∠APC與α、β之間的數(shù)量關系．

Answer 1

分析 （1）過P作PE∥AB，通過平行線性質可得∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°再代入∠PAB=130°，∠PCD=120°可求∠APC即可；
（2）過P作PE∥AD交AC于E，推出AB∥PE∥DC，根據(jù)平行線的性質得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
（3）分兩種情況：P在BD延長線上；P在DB延長線上，分別畫出圖形，根據(jù)平行線的性質得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案．

解答 （1）解：過點P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，
∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，
∴∠APE=50°，∠CPE=60°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．

（2）∠APC=∠α+∠β，
理由：如圖2，過P作PE∥AB交AC于E，

∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠α=∠APE，∠β=∠CPE，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β；

（3）如圖所示，當P在BD延長線上時，
∠CPA=∠α-∠β；

如圖所示，當P在DB延長線上時，
∠CPA=∠β-∠α．

點評 本題主要考查了平行線的性質和判定的應用，主要考查學生的推理能力，題目是一道比較典型的題目，解題時注意分類思想的運用．