Question

2．二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a＜0）的圖象經(jīng)過點（-1，1），（4，-4）．下列結(jié)論：
①$\frac{a}{c}$＜0；
②當x＞1時，y的值隨x值的增大而減�。�
③x=4是方程ax²+（b+1）x+c=0的一個根；
④當-1＜x＜4時，ax²+（b+1）x+c＞0．
其中正確的是（　�。�

• A． ①③
• B． ①②④
• C． ①③④
• D． ②③④

Answer 1

分析 ①將（-1，1）、（4，-4）分別代入y=ax²+bx+c，即可得出4a=-c，從而得出$\frac{a}{c}$＜0，
②不能得出對稱軸方程，所以當x＞1時，y的值隨x值的增大而減小不一定正確；
③把x=4代入方程ax²+（b+1）x+c=0整理得，16a+4b+c=-4，把（4，-4）代入y=ax²+bx+c得，16a+4b+c=-4，從而判定x=4是方程ax²+（b+1）x+c=0的一個根；
④由題意可知，當-1＜x＜4時，函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象在直線y=-x的上方，所以ax²+bx+c＞-x，從而得出ax²+（b+1）x+c＞0．

解答 解：∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過（-1，1），（4，-4）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=1①}\\{16a+4b+c=-4②}\end{array}\right.$，
②+①×4，整理，得4a=-c，
∴$\frac{a}{c}$=-$\frac{1}{4}$＜0，故①正確；
∵不能得出對稱軸方程，所以當x＞1時，y的值隨x值的增大而減小不一定正確；故②錯誤；
把x=4代入方程ax²+（b+1）x+c=0整理得，16a+4b+c=-4，
把（4，-4）代入y=ax²+bx+c得，16a+4b+c=-4，
∴x=4是方程ax²+（b+1）x+c=0的一個根，故③正確；
由題意可知，當-1＜x＜4時，函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象在直線y=-x的上方，
∴ax²+bx+c＞-x，
∴ax²+（b+1）x+c＞0，故④正確．
故選C．

點評 本題考查了二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與系數(shù)的關(guān)系：當a＜0，拋物線開口向下；拋物線的對稱軸為直線x=-$\frac{2a}$；拋物線與y軸的交點坐標為（0，c）；當b²-4ac＞0，拋物線與x軸有兩個交點．